2 Aukna rauntalnalínan
Við köllum mengið \(\overline{\mathbb R} := \mathbb R \cup \{-\infty, \infty\} = [-\infty, \infty]\) auknu rauntalnalínuna. Við framlengjum röðuna á \(\mathbb R\) yfir á \(\overline{\mathbb R}\) með skilyrðinu
\[ -\infty < x < \infty \text{ fyrir öll x úr } \mathbb R \]
og framlengjum venjulegu reikniaðgerðirnar á \(\mathbb R\) yfir á \(\overline{\mathbb R}\) með því að setja:
\(a + \infty = \infty \text{ fyrir öll } a\in (-\infty, \infty]\)
\(a + (-\infty) = -\infty \text{ fyrir öll } a\in [-\infty, \infty)\)
\(a \cdot \infty = \infty \text{ og } a \cdot (-\infty) = -\infty \text{ fyrir öll } a\in (0, \infty]\)
\(a \cdot \infty = -\infty \text{ og } a \cdot (-\infty) = \infty \text{ fyrir öll } a\in [-\infty, 0)\)
Látum A vera hlutmengi í \(\overline{\mathbb R}\)
Minnsta yfirstak mengisins A í \(\overline{\mathbb R}\) kallast efra mark mengisins A og við táknum það \(\sup A\).
Stærsta undirstak mengisins A í \(\overline{\mathbb R}\) kallast neðra mark mengisins A og við táknum það \(\inf A\).
Ef \((x_n)_{n\geq 0}\) er runa í \(\overline{\mathbb R}\) og \(n_0 \in \mathbb N\), þá setjum við
\(\sup_{n\geq n_0}x_n := \sup\{x_n | n \geq n_0\}\)
\(\inf_{n\geq n_0}x_n := \inf\{x_n | n \geq n_0\}\)
Mengi A í \(\overline{\mathbb R}\) er sagt takmarkað að ofan [neðan] ef \(\sup A < \infty [\inf A > -\infty]\). Samsvarandi fyrir runur.
2.1 Efra- og neðra markgildi runu
Látum \((x_n)\) vera runu í \(\overline{\mathbb R}\). Þá er runan \(\big(\sup_{n\geq k}x_n\big)_k\) minnkandi og hefur því markgildi í \(\overline{\mathbb R}\). Við setjum
\[ \limsup x_n := \lim_{k\rightarrow \infty}\sup_{n\geq k}x_n \]
og köllum \(\limsup x_n\) efra markgildi rununnar \((x_n)\).
Með svipuðum rökum er unnt að skilgreina stakið
\[ \liminf x_n := \lim_{k\rightarrow \infty}\inf_{n\geq k}x_n. \]
Það kallast neðra markgildi rununnar \((x_n)\).
2.2 Setning
Látum \((x_n)\) vera runu í \(\overline{\mathbb R}\) og E vera mengi allra staka úr \(\overline{\mathbb R}\) sem eru markgildi einhverrar hlutrunu í \((x_n)\). Þá gildir
\[ \limsup x_n = \max E \quad \text{og} \quad \liminf x_n = \min E \]
2.3 Setning
Látum \((x_n)\) vera runu í \(\overline{\mathbb R}\). Þá gilda eftirfarandi jöfnur og ójöfnur:
(i) \(\limsup (-x_n) = -\liminf x_n\) og \(\liminf (-x_n) = -\limsup x_n\).
(ii) \(\liminf x_n \leq \limsup x_n\).
Ennfremur gildir að runan \((x_n)\) er samleitin þá og því aðeins að \(\liminf x_n = \limsup x_n\).
2.4 Setning
Látum \((x_n)\) og \((y_n)\) vera runur í \(\overline{\mathbb R}\) sem hafa þann eiginleika að \(x_n \leq y_n\) fyrir öll \(n\), þá fæst \(\liminf x_n \leq \liminf y_n\) og \(\limsup x_n \leq \limsup y_n\).
2.5 Setning
Látum \((x_n)\) og \((y_n)\) vera runur í \(\overline{\mathbb R}\), þá gilda ójöfnurnar
\[ \begin{aligned} \liminf x_n + \liminf y_n &\leq \liminf(x_n + y_n) \\ &\leq \liminf x_n + \limsup y_n \\ &\leq \limsup(x_n + y_n) \\ &\leq \limsup x_n + \limsup y_n \end{aligned} \]