2 Aukna rauntalnalínan

Við köllum mengið $\overline{\mathbb R} := \mathbb R \cup \{-\infty, \infty\} = [-\infty, \infty]$ auknu rauntalnalínuna. Við framlengjum röðuna á $\mathbb R$ yfir á $\overline{\mathbb R}$ með skilyrðinu

$$-\infty < x < \infty \text{ fyrir öll x úr } \mathbb R$$

og framlengjum venjulegu reikniaðgerðirnar á $\mathbb R$ yfir á $\overline{\mathbb R}$ með því að setja:

• $a + \infty = \infty \text{ fyrir öll } a\in (-\infty, \infty]$

• $a + (-\infty) = -\infty \text{ fyrir öll } a\in [-\infty, \infty)$

• $a \cdot \infty = \infty \text{ og } a \cdot (-\infty) = -\infty \text{ fyrir öll } a\in (0, \infty]$

• $a \cdot \infty = -\infty \text{ og } a \cdot (-\infty) = \infty \text{ fyrir öll } a\in [-\infty, 0)$

---

Látum A vera hlutmengi í $\overline{\mathbb R}$

• Minnsta yfirstak mengisins A í $\overline{\mathbb R}$ kallast efra mark mengisins A og við táknum það $\sup A$.

• Stærsta undirstak mengisins A í $\overline{\mathbb R}$ kallast neðra mark mengisins A og við táknum það $\inf A$.

Ef $(x_n)_{n\geq 0}$ er runa í $\overline{\mathbb R}$ og $n_0 \in \mathbb N$, þá setjum við

• $\sup_{n\geq n_0}x_n := \sup\{x_n | n \geq n_0\}$

• $\inf_{n\geq n_0}x_n := \inf\{x_n | n \geq n_0\}$

---

Mengi A í $\overline{\mathbb R}$ er sagt takmarkað að ofan [neðan] ef $\sup A < \infty [\inf A > -\infty]$. Samsvarandi fyrir runur.

2.1 Efra- og neðra markgildi runu

Látum $(x_n)$ vera runu í $\overline{\mathbb R}$. Þá er runan $\big(\sup_{n\geq k}x_n\big)_k$ minnkandi og hefur því markgildi í $\overline{\mathbb R}$. Við setjum

$$\limsup x_n := \lim_{k\rightarrow \infty}\sup_{n\geq k}x_n$$

og köllum $\limsup x_n$ efra markgildi rununnar $(x_n)$.

Með svipuðum rökum er unnt að skilgreina stakið

$$\liminf x_n := \lim_{k\rightarrow \infty}\inf_{n\geq k}x_n.$$

Það kallast neðra markgildi rununnar $(x_n)$.

2.2 Setning

Látum $(x_n)$ vera runu í $\overline{\mathbb R}$ og E vera mengi allra staka úr $\overline{\mathbb R}$ sem eru markgildi einhverrar hlutrunu í $(x_n)$. Þá gildir

$$\limsup x_n = \max E \quad \text{og} \quad \liminf x_n = \min E$$

2.3 Setning

Látum $(x_n)$ vera runu í $\overline{\mathbb R}$. Þá gilda eftirfarandi jöfnur og ójöfnur:

(i) $\limsup (-x_n) = -\liminf x_n$ og $\liminf (-x_n) = -\limsup x_n$.

(ii) $\liminf x_n \leq \limsup x_n$.

Ennfremur gildir að runan $(x_n)$ er samleitin þá og því aðeins að $\liminf x_n = \limsup x_n$.

2.4 Setning

Látum $(x_n)$ og $(y_n)$ vera runur í $\overline{\mathbb R}$ sem hafa þann eiginleika að $x_n \leq y_n$ fyrir öll $n$, þá fæst $\liminf x_n \leq \liminf y_n$ og $\limsup x_n \leq \limsup y_n$.

2.5 Setning

Látum $(x_n)$ og $(y_n)$ vera runur í $\overline{\mathbb R}$, þá gilda ójöfnurnar

$$\begin{aligned} \liminf x_n + \liminf y_n &\leq \liminf(x_n + y_n) \\ &\leq \liminf x_n + \limsup y_n \\ &\leq \limsup(x_n + y_n) \\ &\leq \limsup x_n + \limsup y_n \end{aligned}$$