Vikublað 3
Dæmi 1
Látum I vera óendanlegt teljanlegt mengi og \((a_i)_{i\in I}\) vera fjölskyldu af tvinntölum.
(a) Gerið grein fyrir að summan \(\sum_{i\in I} a_i\) sé alsamleitin þá og því aðeins að til sé rauntala K, sem hefur þann eiginleika að
\[ \sum_{i\in F}|a_i| \leq K \]
fyrir sérhvert endanlegt hlutmengi \(F\) í \(I\).
Lausn. Gerum ráð fyrir að til sé slíkt \(K\) og sýnum að summan er alsamleitin. Þar sem að \(I\) er teljanlega óendanlegt er til gagntækt fall \(\sigma: \mathbb N \rightarrow I\). Þá fæst fyrir sérhvert \(n\in\mathbb N\) að
\[ \sum_{k=0}^n|a_{\sigma(k)}|\leq K. \]
Samkvæmt forsendu er markgildið \(n\rightarrow\infty\) til svo hlutsummurunan hefur markgildi. Þar með er runan alsamleitin.
Gerum nú ráð fyrir að summan sé alsamleitin og sýnum að til sé slíkt \(K\). Aftur er til gagntækt fall \(\sigma:\mathbb N\rightarrow I\). Þar sem runan er alsamleitin setjum við
\[ K:=\sum_{k=0}^\infty|a_{\sigma(k)}|. \]
Þar sem \(\sigma\) er gagntæk er þá
\[ \sum_{i\in F}|a_i| = K - \sum_{i\in I\backslash F}|a_i|\leq K \]
(b) Gerum ráð fyrir að summan \(\sum_{i\in I} a_i\) sé alsamleitin og setjum \(A := \sum_{i\in I} a_i\). Sýnið að fyrir sérhvert \(\varepsilon > 0\) sé til endanlegt hlutmengi \(F\) í \(I\), sem hefur þann eiginleika að
\[ \left|\sum_{i\in J}a_j - A \right| < \varepsilon \]
fyrir sérhvert endanlegt hlutmengi \(F\) í \(I\).
Lausn. Eins og í fyrri til er til gagntækt fall \(\sigma:\mathbb N\rightarrow I\). Þar sem röðin er alsamleitin er hún sér í lagi skilorðslaust samleitin þannig að \(\sum_{i\in I}a_i = \sum_{k\in\mathbb N}a_{\sigma(k)}\) fyrir öll skík \(\sigma\). Þá er til \(n\in\mathbb N\) þannig að
\[ \left|A - \sum_{k=0}^N a_{\sigma(k)} \right| < \varepsilon \]
fyrir öll \(N\geq n\). En þá er einmitt \(\sigma(\{1, \dots, n \})\) slíkt hlutmengi.
Dæmi 2
Látum \(E\) og \(F\) vera Jordan-mælanleg hlutmengi hlutmengi í \(\mathbb R^d\). Gerið grein fyrir að \(E\Delta F\) sé líka Jordan-mælanlegt.
Dæmi 3
Látum \(E\) vera takmarkað mengi í \(\mathbb R^d\) og látum samkvæmt venju \(\overline E\) tákna lokun þess og \(\text{int}(E)\) tákna innmengi þess.
(a) Gerið grein fyrir að mengin \(\overline E\) og \(E\) hafi sama Jordan-utanmál.
(b) Gerið grein fyrir að mengin \(\text{int}(E)\) og \(E\) hafi sama Jordan-innanmál.
(c) Ályktið út frá (a) og (b) að E sé mælanlegt þá og því aðeins að jaðar þess, \(\partial E\), hafi Jordan-utanmál núll.
(d) Finnið dæmi um takmarkað hlutmengi í \(\mathbb R^d\) sem er ekki Jordan-mælanlegt.
Dæmi 4
Gerið fyrst grein fyrir að til séu runur \((a_n)_{n\geq 1}\) og \((b_n)_{n\geq1}\) í lokaða bilinu \([0,1]\), sem uppfylla skilyrðin
\[ \mathbb Q \cap (0, 1) \subseteq \bigcup_{n\geq1}(a_n, b_n) \quad \text{og} \quad \sum_{n\geq1}(b_n-a_n)<1 \]
og setjið svo \(U := \bigcup_{n\geq1}(a_n,b_n)\). Sannið síðan eftirfarandi fullyrðingar.
(a) Mengið \([0,1]\backslash U\) er jaðar mengisins U (í \(\mathbb R\)).
(b) Mengið U er ekki Jordan-mælanlegt.
Dæmi 5
Látum \(C\) vera takmarkað hlutmengi í \(\mathbb R^d\). Gerið grein fyrir að kennifallið \(\mathbf 1_C\) sé Riemann-heildanlegt þá og því aðeins að mengið \(C\) sé Jordan-mælanlegt.
Dæmi 6
Látum \(f\) vera fall á \(d\)-kassa R og \(R = B_1\cup\dots\cup B_k\) vera skiptingu. Sýnið fram á að fallið \(f\) sé Riemann-heildanlegt þá og því aðeins að einskorðun \(f\) við \(B_i\) sé Riemann-heildanleg fyrir öll \(i\) úr \(\{1, \dots, k\}\). Sýnið ennfremur fram á að í því tilfelli gildi
\[ \int_R f = \sum_{i=1}^k\int_{B_i}f_i \]
þar sem \(f_i\) táknar einskorðun fallsins \(f\) við \(B_i\).
Dæmi 7
Látum \(C\) vera takmarkað hlutmengi í \(\mathbb R^d\), \(f\) og \(g\) vera Riemann-heildanleg föll á \(C\) og \(a\) vera rauntölu. Sannið eftirfarandi fullyrðingar:
(a) Fallið \(af + g\) er heildanlegt og \[ \int_C(af + g) = a\int_Cf + \int_C g. \]
(b) Fallið \(fg\) er heildanlegt.