Vikublað 3

Dæmi 1

Látum I vera óendanlegt teljanlegt mengi og $(a_i)_{i\in I}$ vera fjölskyldu af tvinntölum.

(a) Gerið grein fyrir að summan $\sum_{i\in I} a_i$ sé alsamleitin þá og því aðeins að til sé rauntala K, sem hefur þann eiginleika að

$$\sum_{i\in F}|a_i| \leq K$$

fyrir sérhvert endanlegt hlutmengi $F$ í $I$.

Lausn. Gerum ráð fyrir að til sé slíkt $K$ og sýnum að summan er alsamleitin. Þar sem að $I$ er teljanlega óendanlegt er til gagntækt fall $\sigma: \mathbb N \rightarrow I$. Þá fæst fyrir sérhvert $n\in\mathbb N$ að

$$\sum_{k=0}^n|a_{\sigma(k)}|\leq K.$$

Samkvæmt forsendu er markgildið $n\rightarrow\infty$ til svo hlutsummurunan hefur markgildi. Þar með er runan alsamleitin.

Gerum nú ráð fyrir að summan sé alsamleitin og sýnum að til sé slíkt $K$. Aftur er til gagntækt fall $\sigma:\mathbb N\rightarrow I$. Þar sem runan er alsamleitin setjum við

$$K:=\sum_{k=0}^\infty|a_{\sigma(k)}|.$$

Þar sem $\sigma$ er gagntæk er þá

$$\sum_{i\in F}|a_i| = K - \sum_{i\in I\backslash F}|a_i|\leq K$$

---

(b) Gerum ráð fyrir að summan $\sum_{i\in I} a_i$ sé alsamleitin og setjum $A := \sum_{i\in I} a_i$. Sýnið að fyrir sérhvert $\varepsilon > 0$ sé til endanlegt hlutmengi $F$ í $I$, sem hefur þann eiginleika að

$$\left|\sum_{i\in J}a_j - A \right| < \varepsilon$$

fyrir sérhvert endanlegt hlutmengi $F$ í $I$.

Lausn. Eins og í fyrri til er til gagntækt fall $\sigma:\mathbb N\rightarrow I$. Þar sem röðin er alsamleitin er hún sér í lagi skilorðslaust samleitin þannig að $\sum_{i\in I}a_i = \sum_{k\in\mathbb N}a_{\sigma(k)}$ fyrir öll skík $\sigma$. Þá er til $n\in\mathbb N$ þannig að

$$\left|A - \sum_{k=0}^N a_{\sigma(k)} \right| < \varepsilon$$

fyrir öll $N\geq n$. En þá er einmitt $\sigma(\{1, \dots, n \})$ slíkt hlutmengi.

---

Dæmi 2

Látum $E$ og $F$ vera Jordan-mælanleg hlutmengi hlutmengi í $\mathbb R^d$. Gerið grein fyrir að $E\Delta F$ sé líka Jordan-mælanlegt.

---

Dæmi 3

Látum $E$ vera takmarkað mengi í $\mathbb R^d$ og látum samkvæmt venju $\overline E$ tákna lokun þess og $\text{int}(E)$ tákna innmengi þess.

(a) Gerið grein fyrir að mengin $\overline E$ og $E$ hafi sama Jordan-utanmál.

(b) Gerið grein fyrir að mengin $\text{int}(E)$ og $E$ hafi sama Jordan-innanmál.

(c) Ályktið út frá (a) og (b) að E sé mælanlegt þá og því aðeins að jaðar þess, $\partial E$, hafi Jordan-utanmál núll.

(d) Finnið dæmi um takmarkað hlutmengi í $\mathbb R^d$ sem er ekki Jordan-mælanlegt.

---

Dæmi 4

Gerið fyrst grein fyrir að til séu runur $(a_n)_{n\geq 1}$ og $(b_n)_{n\geq1}$ í lokaða bilinu $[0,1]$, sem uppfylla skilyrðin

$$\mathbb Q \cap (0, 1) \subseteq \bigcup_{n\geq1}(a_n, b_n) \quad \text{og} \quad \sum_{n\geq1}(b_n-a_n)<1$$

og setjið svo $U := \bigcup_{n\geq1}(a_n,b_n)$. Sannið síðan eftirfarandi fullyrðingar.

(a) Mengið $[0,1]\backslash U$ er jaðar mengisins U (í $\mathbb R$).

(b) Mengið U er ekki Jordan-mælanlegt.

---

Dæmi 5

Látum $C$ vera takmarkað hlutmengi í $\mathbb R^d$. Gerið grein fyrir að kennifallið $\mathbf 1_C$ sé Riemann-heildanlegt þá og því aðeins að mengið $C$ sé Jordan-mælanlegt.

---

Dæmi 6

Látum $f$ vera fall á $d$-kassa R og $R = B_1\cup\dots\cup B_k$ vera skiptingu. Sýnið fram á að fallið $f$ sé Riemann-heildanlegt þá og því aðeins að einskorðun $f$ við $B_i$ sé Riemann-heildanleg fyrir öll $i$ úr $\{1, \dots, k\}$. Sýnið ennfremur fram á að í því tilfelli gildi

$$\int_R f = \sum_{i=1}^k\int_{B_i}f_i$$

þar sem $f_i$ táknar einskorðun fallsins $f$ við $B_i$.

---

Dæmi 7

Látum $C$ vera takmarkað hlutmengi í $\mathbb R^d$, $f$ og $g$ vera Riemann-heildanleg föll á $C$ og $a$ vera rauntölu. Sannið eftirfarandi fullyrðingar:

(a) Fallið $af + g$ er heildanlegt og $$\int_C(af + g) = a\int_Cf + \int_C g.$$

(b) Fallið $fg$ er heildanlegt.