8 Lebesgue-mælanleg mengi og Lebesgue-málið
8.1 Skilgreining
Látum E vera hlutmengi í \(\mathbb R^d\).
(i) Við segjum að E sé Lebesgue-mælanlegt ef, fyrir sérhvert \(\varepsilon > 0\), er til opið mengi U í \(\mathbb R^d\) sem uppfyllir skilyrðin
\[ E\subseteq U \quad \text{og} \quad m^*(U\backslash E) \leq \varepsilon \]
(ii) Ef E er Lebesgue-mælanlegt, þá segjum við að stærðin \(m(E) := m^*(E)\) (í \(\overline{\mathbb R}\)) sé Lebesgue-mál mengisins E.
8.2 Setning
Sérhvert Jordan-mælanlegt mengi í \(\mathbb R^d\) er Lebesgue-mælanlegt og Jordan-mál þess er jafnt Lebesgue-máli þess.
8.3 Setning
(i) Öll opin mengi í \(\mathbb R^d\) eru Lebesgue-mælanleg.
(ii) Öll mengi í \(\mathbb R^d\), sem hafa Lebesgue-utanmál núll, eru Lebesgue-mælanleg.
(iii) Ef \((E_n)_{n\geq 1}\) er runa af Lebesgue-mælanlegum mengjum í \(\mathbb R^d\), þá er sammengið \(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\) einnig Lebesgue-mælanlegt.
(iv) Fyllimengi sérhvers Lebesgue-mælanlegs mengis í \(\mathbb R^d\) er Lebesgue-mælanlegt.
(v) Ef \((E_n)_{n\geq1}\) er runa af Lebesgue-mælanlegum mengjum í \(\mathbb R^d\), þá er sniðmengið \(\bigcap_{n=1}^\infty E_n\) einnig Lebesgue-mælanlegt.
8.4 Setning
Látum \((E_n)_{n\geq1}\) vera runu af innbyrðis sundurlægum Lebesgue-mælanlegum mengjum í \(\mathbb R^d\). Þá gildir
\[ m(\bigcup_{n=1}^\infty E_n) = \sum_{n=1}^\infty m(E_n). \]