8 Lebesgue-mælanleg mengi og Lebesgue-málið

8.1 Skilgreining

Látum E vera hlutmengi í $\mathbb R^d$.

(i) Við segjum að E sé Lebesgue-mælanlegt ef, fyrir sérhvert $\varepsilon > 0$, er til opið mengi U í $\mathbb R^d$ sem uppfyllir skilyrðin

$$E\subseteq U \quad \text{og} \quad m^*(U\backslash E) \leq \varepsilon$$

(ii) Ef E er Lebesgue-mælanlegt, þá segjum við að stærðin $m(E) := m^*(E)$ (í $\overline{\mathbb R}$) sé Lebesgue-mál mengisins E.

---

8.2 Setning

Sérhvert Jordan-mælanlegt mengi í $\mathbb R^d$ er Lebesgue-mælanlegt og Jordan-mál þess er jafnt Lebesgue-máli þess.

---

8.3 Setning

(i) Öll opin mengi í $\mathbb R^d$ eru Lebesgue-mælanleg.

(ii) Öll mengi í $\mathbb R^d$, sem hafa Lebesgue-utanmál núll, eru Lebesgue-mælanleg.

(iii) Ef $(E_n)_{n\geq 1}$ er runa af Lebesgue-mælanlegum mengjum í $\mathbb R^d$, þá er sammengið $\bigcup_{n=1}^\infty E_n$ einnig Lebesgue-mælanlegt.

(iv) Fyllimengi sérhvers Lebesgue-mælanlegs mengis í $\mathbb R^d$ er Lebesgue-mælanlegt.

(v) Ef $(E_n)_{n\geq1}$ er runa af Lebesgue-mælanlegum mengjum í $\mathbb R^d$, þá er sniðmengið $\bigcap_{n=1}^\infty E_n$ einnig Lebesgue-mælanlegt.

8.4 Setning

Látum $(E_n)_{n\geq1}$ vera runu af innbyrðis sundurlægum Lebesgue-mælanlegum mengjum í $\mathbb R^d$. Þá gildir

$$m(\bigcup_{n=1}^\infty E_n) = \sum_{n=1}^\infty m(E_n).$$

---