Vikublað 7

Dæmi 1

Látum \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) vera málrúm og \(f, g:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb R}\) vera mælanleg föll.

(a) Ef \(f\) og \(g\) taka gildi sín í \((-\infty, \infty]\), þá gildir

\[ \text{ess}\sup(f + g) \leq \text{ess}\sup f + \text{ess}\sup g. \]

(b) Ef \(f\) og \(g\) taka gildi sín í \([-\infty, \infty)\), þá gildir

\[ \text{ess}\inf f + \text{ess}\inf g \leq \text{ess} \inf(f + g) \]

Ritháttur. Látum \(\Omega\) vera mengi og \(\mathcal F\) vera safn hlutmengja í \(\Omega\). Þá la´tum við \(\mathcal F^\sigma\) tákna \(\sigma\)-algebruna sem \(\mathcal F\) framleiðir.

Ef \(\Omega'\) er annað mengi, \(f:\Omega \rightarrow \Omega'\) er vörpun og \(\mathcal G\) er safn hlutmengja í \(\Omega'\), þá setjum við

\[ f^{-1}(\mathcal G) := \{f^{-1}(E) | E \in \mathcal G\}. \]

Dæmi 2

Látum \(f: \Omega_1 \rightarrow \Omega_2\) vera vörpun milli tveggja mengja. Sannið eftirfarandi fullyrðingar:

(a) Ef \(\mathcal G\) er \(\sigma\)-algebra á \(\Omega_2\), þá er \(f^{-1}(\mathcal G)\) \(\sigma\)-algebra á \(\Omega_1\).

Þar sem að \(f^{-1}(\emptyset) = \emptyset\) er \(\emptyset\in f^{-1}(\mathcal G)\).
Ef \(E \in f^{-1}(\mathcal G)\) þá er til \(U \in \mathcal G\) þ.a. \(f^{-1}(U) = E\). Þar sem \(\mathcal G\) er \(\sigma\)-algebra er þá \(U^c\in \mathcal G\), svo við fáum \(f^{-1}(U^c) = E^c\) svo \(E^c \in f^{-1}(\mathcal G)\).
Tökum þá loks runu \((E_n)_{n\geq1}\) af mengjum í \(f^{-1}(\mathcal G)\). Þá er til samsvarandi runa \((U_n)_{n\geq1}\) í \(\mathcal G\) þ.a. \(f^{-1}(U_n) = E_n\) fyrir öll \(n\). Tökum eftir því að \(\mathcal G\) er \(\sigma\)-algebra og því er \(\bigcup_{n=1}^\infty U_n \in \mathcal G\). Þar sem frummynd falls dreifist yfir sammengi fáum við að \(f^{-1}(\bigcup_{n=1}^\infty U_n) = \bigcup_{n=1}^\infty E_n\) svo \(\bigcup_{n=1}^\infty E_n \in f^{-1}(\mathcal G)\).

Ofantalin atriði sýna að \(f^{-1}(\mathcal G)\) sé \(\sigma\)-algebra.

(b) Ef \(\mathcal F\) er \(\sigma\)-algebra á \(\Omega_1\) þá er \(\mathcal G := \{E\subseteq \Omega_2 | f^{-1}(E)\in \mathcal F\}\) \(\sigma\)-algebra á \(\Omega_2\)

Þar sem frummynd \(\emptyset\) er ávallt \(\emptyset\) og \(\emptyset\in\mathcal F\) fæst að \(\emptyset \in \mathcal G\).
Ef \(E \in \mathcal G\) þá er tilsamsvarandi \(U\in \mathcal F\) þ.a. \(f^{-1}(U) = E\). Þar sem \(\mathcal F\) er \(\sigma\)-algebra er \(U^c\in\mathcal F\) og því \(f^{-1}(U^c) = E^c \in \mathcal G\).
Tökum runu \((E_n)_{n\geq1}\) af mengjum í \(\mathcal G\). Til er samsvarandi runa \((U_n)_{n\geq1}\) af mengjum í \(\mathcal F\) þ.a. \(f^{-1}(U_n) = E_n\) fyrir öll \(n\). Þar sem \(\mathcal F\) sé \(\sigma\)-algebra gildir \(\bigcup_{n=1}^\infty U_n \in \mathcal F\) og þar sem frummynd dreifist yfir sammengi sjáum við að \(f^{-1}(\bigcup_{n=1}^\infty U_n) = \bigcup_{n=1}^\infty E_n\) svo \(\bigcup_{n=1}^\infty\in\mathcal G\).

Ofantalin atriði séna að \(\mathcal G\) sé \(\sigma\)-algebra.

(c) Ef \(\mathcal G\) er safn af hlutmengjum í \(\Omega_2\), þá er \((f^{-1}(\mathcal G))^\sigma = f^{-1}(\mathcal G^\sigma)\)

Samkvæmt (a) er \(f^{-1}(\mathcal G^\sigma)\) \(\sigma\)-algebra sem inniheldur nauðsynlega \(f^{-1}(\mathcal G)\). því fæst að \((f^{-1}(\mathcal G))^\sigma \subseteq f^{-1}(\mathcal G^\sigma)\), svo okkur dugir að leiða út hlutmengjamerkið í öfuga átt. Nú gefur (b) að

\[ \mathcal H := \left\{E\subseteq \Omega_2 | f^{-1}(E)\in(f^{-1}(\mathcal G))^\sigma\right\} \]

sé \(\sigma\)-algebra í \(\Omega_2\). Ef við tökum \(U\in\mathcal G\) þá er \(f^{-1}(U)\in f^{-1}(\mathcal G)\) og þá sér í lagi í \((f^{-1}(\mathcal G))^\sigma\). Því fæst að \(\mathcal G \subseteq \mathcal H\), en þar sem \(\mathcal H\) er \(\sigma\)-algebra er \(\mathcal G^\sigma \subseteq \mathcal H\). Þar sem hlutmengjavensl varðveitast yfir frummyndir er þá \(f^{-1}(\mathcal G^\sigma) \subseteq f^{-1}(\mathcal H) \subseteq (f^{-1}(\mathcal G))^\sigma\).

Skilgreining

Látum \((\Omega_1, \mathcal F)\) og \((\Omega_2, \mathcal G)\) vera tvö mælanleg rúm. Við segjum að vörpun \(\varphi: \Omega_1 \rightarrow \Omega_2\) sé mælanleg ef \(\varphi^{-1}(E) \in \mathcal F\) fyrir öll \(E\in\mathcal G\)

Dæmi 3

Látum \((\Omega, \mathcal F)\) vera mælanlegt rúm og \(f\) vera tvinngilt fall á \(\Omega\). Sýnið að fallið \(f\) sé mælanlegt þá og því aðeins að \(f\) sé mælanleg vörpun frá \((\Omega, \mathcal F)\) til \((\mathbb C, \mathcal B)\), þar sem \(\mathcal B\) táknar samkvæmt venju Borel-algebruna á \(\mathbb C\).

Dæmi 4

Sýnið að samskeyting endanlega margra mælanlegra varpana sé mælanleg vörpun.

Dæmi 5

Látum \((\Omega_1, \mathcal F)\) og \((\Omega_2, \mathcal G)\) vera mælanleg rúm og \(\varphi: \Omega_1 \rightarrow \Omega_2\) vera mælanlega vörpun. Sýnið að fyrir sérhvert mál \(\mu: \mathcal F \rightarrow [0, \infty]\) gildi að fallið

\[ \varphi_* \mu: \mathcal G \rightarrow [0, \infty], \quad E \rightarrow \mu(\varphi^{-1}(E)) \]

sé mál. Við segjum að það sé mynd vörpunarinnar \(\varphi\) af málinu \(\mu\).

\(\varphi_*\mu(\emptyset) = \mu(\varphi^{-1}(\emptyset)) = \mu(\emptyset) = 0\).
Tökum runu \((E_n)_{n\geq1}\) af innbyrðis sundurlægum mengjum í \(\mathcal G\). Þar sem frummynd dreifist yfir sammengi fæst

\[ \mu\left(\varphi^{-1}\left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\right)\right) = \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty\varphi^{-1}\left( E_n\right)\right) = \sum_{n=1}^\infty\mu(\varphi^{-1}(E_n)) = \sum_{n=1}^\infty\varphi_*\mu(E_n). \]

Ofangreind atriði sýna að \(\varphi_*\mu\) er mál.

Dæmi 6

Látum \((s_n)_{n\geq1}\) og \(f\) vera eins og í setningu 12.2.4 og sönnun hennar og gerum ennfremur ráð fyrir að \(f\) sé takmarkað fall. Sýnið að runan \((s_n)_{n\geq1}\) stefni á \(f\) í jöfnum mæli á \(\Omega\).

Lausn. Þar sem \(f\) er takmarkað er til \(M\) þ.a. \(||f||<M\). Gefum okkur \(\varepsilon > 0\). Við viljum sýna að til sé \(N\in\mathbb N\) þ.a. \(||f-s_n||_\Omega < \varepsilon\) fyrir öll \(n\geq N\). Við erum búin að sanna að \(s_n \leq f\) fyrir öll \(n\) svo við þurfum í raun bara að sýna að \(f-s_N < \varepsilon\). Fáum nú:

\[ \begin{aligned} f - s_N &= f - n\mathbf 1_{f^{-1}([n,\infty])} - \sum_{i=1}^{n2^n}\frac{i-1}{2^n}\mathbf1_{f^{-1}([\frac{i-1}{2^n}, \frac{i}{2^n}])} \\ &< (||f|| - n)\mathbf 1_{f^{-1}([n,\infty])} + \sum_{i=1}^{n2^n}(\frac{i}{2^n} - \frac{i-1}{2^n})\mathbf1_{f^{-1}([\frac{i-1}{2^n}, \frac{i}{2^n}])} \\ &< (M - n)\mathbf 1_{f^{-1}([n,\infty])} - \sum_{i=1}^{n2^n}\frac{1}{2^n}\mathbf1_{f^{-1}([\frac{i-1}{2^n}, \frac{i}{2^n}])} \\ &= (M - n)\mathbf 1_{f^{-1}([n,\infty])} - \frac{1}{2^n}\mathbf1_{f^{-1}([0,n])} \end{aligned} \]

þar sem síðasta jafnaðarmerkið er vegna þess að summan er yfir kenniföll sundurlægra mengja. Þegar \(n > M\) fæst að \(\mathbf 1_{f^{-1}([n,\infty])} = 0\) og ljóst er að \(\frac{1}{2^n}\mathbf1_{f^{-1}([0,n])}\leq1\) svo við fáum að fyrir nógu stór \(N\) sé \(f-s_N < 2^{-N}\) en þá er ljóst að \(f-s_N < \varepsilon\) fyri rnógu stór \(N\).

Dæmi 7

Látum \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) vera málrúm og \(t = \sum_{k=1}^mb_k\mathbf 1_{E_k}\) vera (ekki endilega staðlaða framsetningu) á einföldu falli á \(\Omega\), þar sem \(E_k \in \mathcal F\) fyrir öll \(k\). Sýnið að

\[ \int_\Omega t d\mu = \sum_{k=1}^m b_k\mu(E_k) \]

Lausn.

Dæmi 8

Látum \(s\) og \(t\) vera einföld föll á málrúmi. Sýnið að föllin \(\min\{s, t\}\) og \(\max\{s, t\}\) séu líka einföld föll.

Lausn.

Dæmi 9

Látum \(f: \mathbb N \rightarrow [0, \infty]\). Sýnið að fallið \(f\) sé mælanlegt á \((\mathbb N, \mathcal P(\mathbb N), \mu)\) þar sem \(\mu\) er talningarmálið, og um öll hlutmengi E í \(\mathbb N\) gildi

\[ \int_E f d\mu = \sum_{n\in E}f(n). \]

Lausn.

Dæmi 10

Bíl er ekið frá stað A til staðar B á 50 km meðalhraða, en fjarlægðin frá A til B er 25 km. Hann leggur af stað milli kl 12 og 13 (sama dag) og nemur staðar þegar hann kemur til B. Skilgreinum hendingu (slembibreytu, slembistærð) X á líkindarúminu \(([0, 1], P)\), þar sem P táknar einskorðun Lebesgue-málsins við \([0, 1]\), með því að setja

\[ X(t) := \text{ Fjarlægð bílsins frá B kl 13 ef hann leggur af stað kl 12 + t}. \]

Finnið líkindamálið \(P_X\), sem hendingin X ákvarðar.

Lausn.

Sjáum að \(X\) varpar \([0,\frac12]\) í \(0\). Hins vegar fyir \([\frac12,1]\) varpar \(X\) gildinu \(t\) í \(25 - 50t\). Því er \(X(t) = \max(0, 25 - 50t)\). Ljóst er því að frummynd 0 hafi mál \(\frac12\), frummynd alls utan \([0,1]\) sé tóm, og allt í \(]0,1]\) þjappast um helming við að frummynd sé tekin. Því fæst

\[ P_X(B) = \frac12 m(B\cap]0,1]) + \begin{cases} \frac12 \text{ ef } 0 \in B \\ 0 \text{ annars} \end{cases} \]