Vikublað 7

Dæmi 1

Látum $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ vera málrúm og $f, g:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb R}$ vera mælanleg föll.

(a) Ef $f$ og $g$ taka gildi sín í $(-\infty, \infty]$, þá gildir

$$\text{ess}\sup(f + g) \leq \text{ess}\sup f + \text{ess}\sup g.$$

(b) Ef $f$ og $g$ taka gildi sín í $[-\infty, \infty)$, þá gildir

$$\text{ess}\inf f + \text{ess}\inf g \leq \text{ess} \inf(f + g)$$

Ritháttur. Látum $\Omega$ vera mengi og $\mathcal F$ vera safn hlutmengja í $\Omega$. Þá la´tum við $\mathcal F^\sigma$ tákna $\sigma$-algebruna sem $\mathcal F$ framleiðir.

Ef $\Omega'$ er annað mengi, $f:\Omega \rightarrow \Omega'$ er vörpun og $\mathcal G$ er safn hlutmengja í $\Omega'$, þá setjum við

$$f^{-1}(\mathcal G) := \{f^{-1}(E) | E \in \mathcal G\}.$$

---

Dæmi 2

Látum $f: \Omega_1 \rightarrow \Omega_2$ vera vörpun milli tveggja mengja. Sannið eftirfarandi fullyrðingar:

(a) Ef $\mathcal G$ er $\sigma$-algebra á $\Omega_2$, þá er $f^{-1}(\mathcal G)$ $\sigma$-algebra á $\Omega_1$.

• Þar sem að $f^{-1}(\emptyset) = \emptyset$ er $\emptyset\in f^{-1}(\mathcal G)$.

• Ef $E \in f^{-1}(\mathcal G)$ þá er til $U \in \mathcal G$ þ.a. $f^{-1}(U) = E$. Þar sem $\mathcal G$ er $\sigma$-algebra er þá $U^c\in \mathcal G$, svo við fáum $f^{-1}(U^c) = E^c$ svo $E^c \in f^{-1}(\mathcal G)$.

• Tökum þá loks runu $(E_n)_{n\geq1}$ af mengjum í $f^{-1}(\mathcal G)$. Þá er til samsvarandi runa $(U_n)_{n\geq1}$ í $\mathcal G$ þ.a. $f^{-1}(U_n) = E_n$ fyrir öll $n$. Tökum eftir því að $\mathcal G$ er $\sigma$-algebra og því er $\bigcup_{n=1}^\infty U_n \in \mathcal G$. Þar sem frummynd falls dreifist yfir sammengi fáum við að $f^{-1}(\bigcup_{n=1}^\infty U_n) = \bigcup_{n=1}^\infty E_n$ svo $\bigcup_{n=1}^\infty E_n \in f^{-1}(\mathcal G)$.

Ofantalin atriði sýna að $f^{-1}(\mathcal G)$ sé $\sigma$-algebra.

(b) Ef $\mathcal F$ er $\sigma$-algebra á $\Omega_1$ þá er $\mathcal G := \{E\subseteq \Omega_2 | f^{-1}(E)\in \mathcal F\}$ $\sigma$-algebra á $\Omega_2$

• Þar sem frummynd $\emptyset$ er ávallt $\emptyset$ og $\emptyset\in\mathcal F$ fæst að $\emptyset \in \mathcal G$.

• Ef $E \in \mathcal G$ þá er tilsamsvarandi $U\in \mathcal F$ þ.a. $f^{-1}(U) = E$. Þar sem $\mathcal F$ er $\sigma$-algebra er $U^c\in\mathcal F$ og því $f^{-1}(U^c) = E^c \in \mathcal G$.

• Tökum runu $(E_n)_{n\geq1}$ af mengjum í $\mathcal G$. Til er samsvarandi runa $(U_n)_{n\geq1}$ af mengjum í $\mathcal F$ þ.a. $f^{-1}(U_n) = E_n$ fyrir öll $n$. Þar sem $\mathcal F$ sé $\sigma$-algebra gildir $\bigcup_{n=1}^\infty U_n \in \mathcal F$ og þar sem frummynd dreifist yfir sammengi sjáum við að $f^{-1}(\bigcup_{n=1}^\infty U_n) = \bigcup_{n=1}^\infty E_n$ svo $\bigcup_{n=1}^\infty\in\mathcal G$.

Ofantalin atriði séna að $\mathcal G$ sé $\sigma$-algebra.

(c) Ef $\mathcal G$ er safn af hlutmengjum í $\Omega_2$, þá er $(f^{-1}(\mathcal G))^\sigma = f^{-1}(\mathcal G^\sigma)$

Samkvæmt (a) er $f^{-1}(\mathcal G^\sigma)$ $\sigma$-algebra sem inniheldur nauðsynlega $f^{-1}(\mathcal G)$. því fæst að $(f^{-1}(\mathcal G))^\sigma \subseteq f^{-1}(\mathcal G^\sigma)$, svo okkur dugir að leiða út hlutmengjamerkið í öfuga átt. Nú gefur (b) að

$$\mathcal H := \left\{E\subseteq \Omega_2 | f^{-1}(E)\in(f^{-1}(\mathcal G))^\sigma\right\}$$

sé $\sigma$-algebra í $\Omega_2$. Ef við tökum $U\in\mathcal G$ þá er $f^{-1}(U)\in f^{-1}(\mathcal G)$ og þá sér í lagi í $(f^{-1}(\mathcal G))^\sigma$. Því fæst að $\mathcal G \subseteq \mathcal H$, en þar sem $\mathcal H$ er $\sigma$-algebra er $\mathcal G^\sigma \subseteq \mathcal H$. Þar sem hlutmengjavensl varðveitast yfir frummyndir er þá $f^{-1}(\mathcal G^\sigma) \subseteq f^{-1}(\mathcal H) \subseteq (f^{-1}(\mathcal G))^\sigma$.

---

Skilgreining

Látum $(\Omega_1, \mathcal F)$ og $(\Omega_2, \mathcal G)$ vera tvö mælanleg rúm. Við segjum að vörpun $\varphi: \Omega_1 \rightarrow \Omega_2$ sé mælanleg ef $\varphi^{-1}(E) \in \mathcal F$ fyrir öll $E\in\mathcal G$

Dæmi 3

Látum $(\Omega, \mathcal F)$ vera mælanlegt rúm og $f$ vera tvinngilt fall á $\Omega$. Sýnið að fallið $f$ sé mælanlegt þá og því aðeins að $f$ sé mælanleg vörpun frá $(\Omega, \mathcal F)$ til $(\mathbb C, \mathcal B)$, þar sem $\mathcal B$ táknar samkvæmt venju Borel-algebruna á $\mathbb C$.

Dæmi 4

Sýnið að samskeyting endanlega margra mælanlegra varpana sé mælanleg vörpun.

Dæmi 5

Látum $(\Omega_1, \mathcal F)$ og $(\Omega_2, \mathcal G)$ vera mælanleg rúm og $\varphi: \Omega_1 \rightarrow \Omega_2$ vera mælanlega vörpun. Sýnið að fyrir sérhvert mál $\mu: \mathcal F \rightarrow [0, \infty]$ gildi að fallið

$$\varphi_* \mu: \mathcal G \rightarrow [0, \infty], \quad E \rightarrow \mu(\varphi^{-1}(E))$$

sé mál. Við segjum að það sé mynd vörpunarinnar $\varphi$ af málinu $\mu$.

---

• $\varphi_*\mu(\emptyset) = \mu(\varphi^{-1}(\emptyset)) = \mu(\emptyset) = 0$.

• Tökum runu $(E_n)_{n\geq1}$ af innbyrðis sundurlægum mengjum í $\mathcal G$. Þar sem frummynd dreifist yfir sammengi fæst

$$\mu\left(\varphi^{-1}\left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\right)\right) = \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty\varphi^{-1}\left( E_n\right)\right) = \sum_{n=1}^\infty\mu(\varphi^{-1}(E_n)) = \sum_{n=1}^\infty\varphi_*\mu(E_n).$$

Ofangreind atriði sýna að $\varphi_*\mu$ er mál.

---

Dæmi 6

Látum $(s_n)_{n\geq1}$ og $f$ vera eins og í setningu 12.2.4 og sönnun hennar og gerum ennfremur ráð fyrir að $f$ sé takmarkað fall. Sýnið að runan $(s_n)_{n\geq1}$ stefni á $f$ í jöfnum mæli á $\Omega$.

---

Lausn. Þar sem $f$ er takmarkað er til $M$ þ.a. $||f||<M$. Gefum okkur $\varepsilon > 0$. Við viljum sýna að til sé $N\in\mathbb N$ þ.a. $||f-s_n||_\Omega < \varepsilon$ fyrir öll $n\geq N$. Við erum búin að sanna að $s_n \leq f$ fyrir öll $n$ svo við þurfum í raun bara að sýna að $f-s_N < \varepsilon$. Fáum nú:

$$\begin{aligned} f - s_N &= f - n\mathbf 1_{f^{-1}([n,\infty])} - \sum_{i=1}^{n2^n}\frac{i-1}{2^n}\mathbf1_{f^{-1}([\frac{i-1}{2^n}, \frac{i}{2^n}])} \\ &< (||f|| - n)\mathbf 1_{f^{-1}([n,\infty])} + \sum_{i=1}^{n2^n}(\frac{i}{2^n} - \frac{i-1}{2^n})\mathbf1_{f^{-1}([\frac{i-1}{2^n}, \frac{i}{2^n}])} \\ &< (M - n)\mathbf 1_{f^{-1}([n,\infty])} - \sum_{i=1}^{n2^n}\frac{1}{2^n}\mathbf1_{f^{-1}([\frac{i-1}{2^n}, \frac{i}{2^n}])} \\ &= (M - n)\mathbf 1_{f^{-1}([n,\infty])} - \frac{1}{2^n}\mathbf1_{f^{-1}([0,n])} \end{aligned}$$

þar sem síðasta jafnaðarmerkið er vegna þess að summan er yfir kenniföll sundurlægra mengja. Þegar $n > M$ fæst að $\mathbf 1_{f^{-1}([n,\infty])} = 0$ og ljóst er að $\frac{1}{2^n}\mathbf1_{f^{-1}([0,n])}\leq1$ svo við fáum að fyrir nógu stór $N$ sé $f-s_N < 2^{-N}$ en þá er ljóst að $f-s_N < \varepsilon$ fyri rnógu stór $N$.

---

Dæmi 7

Látum $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ vera málrúm og $t = \sum_{k=1}^mb_k\mathbf 1_{E_k}$ vera (ekki endilega staðlaða framsetningu) á einföldu falli á $\Omega$, þar sem $E_k \in \mathcal F$ fyrir öll $k$. Sýnið að

$$\int_\Omega t d\mu = \sum_{k=1}^m b_k\mu(E_k)$$

---

Lausn.

---

Dæmi 8

Látum $s$ og $t$ vera einföld föll á málrúmi. Sýnið að föllin $\min\{s, t\}$ og $\max\{s, t\}$ séu líka einföld föll.

---

Lausn.

---

Dæmi 9

Látum $f: \mathbb N \rightarrow [0, \infty]$. Sýnið að fallið $f$ sé mælanlegt á $(\mathbb N, \mathcal P(\mathbb N), \mu)$ þar sem $\mu$ er talningarmálið, og um öll hlutmengi E í $\mathbb N$ gildi

$$\int_E f d\mu = \sum_{n\in E}f(n).$$

---

Lausn.

---

Dæmi 10

Bíl er ekið frá stað A til staðar B á 50 km meðalhraða, en fjarlægðin frá A til B er 25 km. Hann leggur af stað milli kl 12 og 13 (sama dag) og nemur staðar þegar hann kemur til B. Skilgreinum hendingu (slembibreytu, slembistærð) X á líkindarúminu $([0, 1], P)$, þar sem P táknar einskorðun Lebesgue-málsins við $[0, 1]$, með því að setja

$$X(t) := \text{ Fjarlægð bílsins frá B kl 13 ef hann leggur af stað kl 12 + t}.$$

Finnið líkindamálið $P_X$, sem hendingin X ákvarðar.

---

Lausn.

Sjáum að $X$ varpar $[0,\frac12]$ í $0$. Hins vegar fyir $[\frac12,1]$ varpar $X$ gildinu $t$ í $25 - 50t$. Því er $X(t) = \max(0, 25 - 50t)$. Ljóst er því að frummynd 0 hafi mál $\frac12$, frummynd alls utan $[0,1]$ sé tóm, og allt í $]0,1]$ þjappast um helming við að frummynd sé tekin. Því fæst

$$P_X(B) = \frac12 m(B\cap]0,1]) + \begin{cases} \frac12 \text{ ef } 0 \in B \\ 0 \text{ annars} \end{cases}$$