17 Nálganir Lebesgue-heildanlegra falla á \(\mathbb R^d\)

17.1 Setning

Látum \(f\) vera Lebesgue-heildanlegt fall á \(\mathbb R^d\) og \(\varepsilon > 0\).

(i) Til er kassi \(A\) í \(\mathbb R^d\) og tröppufall \(t:A\rightarrow\mathbb R\), sem uppfyllir

\[ \int_{\mathbb R^d}|f-t|dm < \varepsilon \]

(Hér hefur fallið \(t\) verið framlengt með núlli yfir á allt \(\mathbb R^d\)).

(ii) Til er samfellt fall \(g:\mathbb R^d\rightarrow\mathbb R\) og \(d\)-kassi \(C\), sem hafa eftirfarandi eiginleika

\[ \int_{\mathbb R^d}|f-g|dm<\varepsilon \quad \text{og}\quad g(x) = 0, \forall x\in \mathbb R^d\backslash C. \]

Sönnun.

Látum \(f\) vera í \(\mathcal L^1(\mathbb R,m)\) og setjum, fyrir sérhvert \(k\in\mathbb N\),

\[ s_k:=\int_{-\infty}^\infty f(x) sin(kx)dx \quad \text{og} \quad c_k:=\int_{-\infty}^\infty f(x)cos(kx)dx. \]

Þá gildir \(\lim_{k\rightarrow\infty}s_k = \lim_{k\rightarrow\infty}c_k=0\).

Sönnun.