17 Nálganir Lebesgue-heildanlegra falla á $\mathbb R^d$

17.1 Setning

Látum $f$ vera Lebesgue-heildanlegt fall á $\mathbb R^d$ og $\varepsilon > 0$.

(i) Til er kassi $A$ í $\mathbb R^d$ og tröppufall $t:A\rightarrow\mathbb R$, sem uppfyllir

$$\int_{\mathbb R^d}|f-t|dm < \varepsilon$$

(Hér hefur fallið $t$ verið framlengt með núlli yfir á allt $\mathbb R^d$).

(ii) Til er samfellt fall $g:\mathbb R^d\rightarrow\mathbb R$ og $d$-kassi $C$, sem hafa eftirfarandi eiginleika

$$\int_{\mathbb R^d}|f-g|dm<\varepsilon \quad \text{og}\quad g(x) = 0, \forall x\in \mathbb R^d\backslash C.$$

---

Sönnun.

---

17.2 Setning

Látum $f$ vera í $\mathcal L^1(\mathbb R,m)$ og setjum, fyrir sérhvert $k\in\mathbb N$,

$$s_k:=\int_{-\infty}^\infty f(x) sin(kx)dx \quad \text{og} \quad c_k:=\int_{-\infty}^\infty f(x)cos(kx)dx.$$

Þá gildir $\lim_{k\rightarrow\infty}s_k = \lim_{k\rightarrow\infty}c_k=0$.

---

Sönnun.

---