Vikublað 2

Dæmi 1

Látum $a$ og $b$ vera rauntölur sem uppfylla $a \leq b$ og $I$ vera bil (opið, hálfopið eða lokað) með endapunkta $a$ og $b$. Þá setjum við $|I| := b - a$ og köllum lengd bilsins $I$.

Fjöldatölu mengis $A$ táknum við $\#A$ eða $\#(A)$.

Fyrir sérhverja náttúrulega tölu $N > 0$ setjum við $\frac1N\mathbb Z := \{\frac kN | k \in \mathbb Z\}$.

Sýnið að um sérhvert bil $I$ gildi

$$|I| = \lim_{N\rightarrow\infty}\frac1N\#\left(I\cap\frac1N\mathbb Z \right).$$

---

Dæmi 2

Látum $a$ og $b$ vera rauntölur og $I_1, \dots I_k$ vera bil, sem þekja $[a, b]$ (þ.e.a.s $[a,b] \subseteq I_1\cup \dots\cup I_k$). Sannið eftirfarandi fullyrðingar.

(a) $b - a \leq \sum_{j=1}^k|I_j|.$

(b) Ef $[a, b] = I_1\cup\dots\cup I_k$ og $\#(I_j\cap I_k) \leq 1$ furir $j\neq k$, þá gildir jafnaðarmerkið í ójöfnunni í lið (a).

---

Dæmi 3

Látum $(I_n)_{n\geq1}$ vera runu af bilum sem þekja hálflínu. Sýnið að

$$\sum_{n=1}^\infty|I_n| = \infty.$$

---

Dæmi 4

Faldmengi $d$ bila, $B := I_1\times\dots\times I_d$, kallast kassi í $\mathbb R^d$ eða $d$-kassi. Töluna

$$|B| := |I_1|\dots|I_d|$$

köllum við rúmmál kassans B. Sýnið að um sérhvern kassa B í $\mathbb R^d$ gildi

$$|B| = \lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N^d}\#\left(B\cap\frac1N\mathbb Z^d\right)$$

þar sem $\frac1N\mathbb Z^d := \{\frac1N(k_1, \dots, k_d)|k_1,\dots,k_d\in\mathbb Z\}$.

---

Dæmi 5

Látum A og B vera hlutmengi í $\mathbb R^d$, sem hvort um sig er sammengi endanlega margra $d$-kassa. Sýnið að hið sama gildi þá einnig um hlutmengin $A\cup B$, $A\cap B$, $A\backslash B$ og $A\Delta B$.

---

Dæmi 6

Fyrir sérhvert $n\in\mathbb N$ skilgreinum við fall

$$f_n:[0,\infty)\rightarrow\mathbb R, \quad x\rightarrow \frac{x\sqrt n}{(1+x^2)n}.$$

Sannið eða hrekið eftirfarandi fullyrðingar.

(a) Runan $(f_n(x))_{n\geq1}$ stefnir á núll fyrir sérhvert $x$.

(b) Runan $(f_n)_{n\geq1}$ stefnir í jöfnum mæli á núllfallið.

(c) Runan $(\int_0^\infty f_n(x)dx)_{n\geq 1}$ stefnir á núll.