Vikublað 2
Dæmi 1
Látum \(a\) og \(b\) vera rauntölur sem uppfylla \(a \leq b\) og \(I\) vera bil (opið, hálfopið eða lokað) með endapunkta \(a\) og \(b\). Þá setjum við \(|I| := b - a\) og köllum lengd bilsins \(I\).
Fjöldatölu mengis \(A\) táknum við \(\#A\) eða \(\#(A)\).
Fyrir sérhverja náttúrulega tölu \(N > 0\) setjum við \(\frac1N\mathbb Z := \{\frac kN | k \in \mathbb Z\}\).
Sýnið að um sérhvert bil \(I\) gildi
\[ |I| = \lim_{N\rightarrow\infty}\frac1N\#\left(I\cap\frac1N\mathbb Z \right). \]
Dæmi 2
Látum \(a\) og \(b\) vera rauntölur og \(I_1, \dots I_k\) vera bil, sem þekja \([a, b]\) (þ.e.a.s \([a,b] \subseteq I_1\cup \dots\cup I_k\)). Sannið eftirfarandi fullyrðingar.
(a) \(b - a \leq \sum_{j=1}^k|I_j|.\)
(b) Ef \([a, b] = I_1\cup\dots\cup I_k\) og \(\#(I_j\cap I_k) \leq 1\) furir \(j\neq k\), þá gildir jafnaðarmerkið í ójöfnunni í lið (a).
Dæmi 3
Látum \((I_n)_{n\geq1}\) vera runu af bilum sem þekja hálflínu. Sýnið að
\[ \sum_{n=1}^\infty|I_n| = \infty. \]
Dæmi 4
Faldmengi \(d\) bila, \(B := I_1\times\dots\times I_d\), kallast kassi í \(\mathbb R^d\) eða \(d\)-kassi. Töluna
\[ |B| := |I_1|\dots|I_d| \]
köllum við rúmmál kassans B. Sýnið að um sérhvern kassa B í \(\mathbb R^d\) gildi
\[ |B| = \lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N^d}\#\left(B\cap\frac1N\mathbb Z^d\right) \]
þar sem \(\frac1N\mathbb Z^d := \{\frac1N(k_1, \dots, k_d)|k_1,\dots,k_d\in\mathbb Z\}\).
Dæmi 5
Látum A og B vera hlutmengi í \(\mathbb R^d\), sem hvort um sig er sammengi endanlega margra \(d\)-kassa. Sýnið að hið sama gildi þá einnig um hlutmengin \(A\cup B\), \(A\cap B\), \(A\backslash B\) og \(A\Delta B\).
Dæmi 6
Fyrir sérhvert \(n\in\mathbb N\) skilgreinum við fall
\[ f_n:[0,\infty)\rightarrow\mathbb R, \quad x\rightarrow \frac{x\sqrt n}{(1+x^2)n}. \]
Sannið eða hrekið eftirfarandi fullyrðingar.
(a) Runan \((f_n(x))_{n\geq1}\) stefnir á núll fyrir sérhvert \(x\).
(b) Runan \((f_n)_{n\geq1}\) stefnir í jöfnum mæli á núllfallið.
(c) Runan \((\int_0^\infty f_n(x)dx)_{n\geq 1}\) stefnir á núll.