Vikublað 1

Dæmi 1

Látum \((x_n)\) vera runu í \(\mathbb R\) og M vera rauntölu. Sýnið að rauntalan M sé efra markgildi rununnar ef og aðeins ef hún hefur eftirfarandi eiginleika:

• Fyrir sérhvert \(\varepsilon > 0\) gildir að mengið \(\{n \in \mathbb N | x_n \geq M + \varepsilon\}\) er endanlegt og mengið \(\{n \in \mathbb N | x_n \geq M - \varepsilon\}\) er óendanlegt.

Gerið síðan grein fyrir að neðra mark rununnar uppfylli sambærilegan eiginleika.

Dæmi 2

Látum \((a_n)\) og \((b_n)\) vera runur í \(\mathbb R\) og gerum ráð fyrir að runan \((b_n)\) sé samleitin (í \(\overline{\mathbb R}\)). Gerið grein fyrir hvenær eftirfarandi jöfnur eru uppfylltar í þeim tilfellum þegar báðar hliðar hafa merkingu.

(a) \(\liminf(a_n + b_n) = \liminf a_n + \lim b_n\) og \(\limsup(a_n + b_n) = \limsup a_n + \lim b_n\)

(b) \(\liminf(a_nb_n) = (\liminf a_n)(\lim b_n)\) og \(\limsup(a_nb_n) = (\limsup a_n)(\lim b_n)\)

Dæmi 3

Látun \((x_n)\) vera runu í \(\mathbb R\). Sannið eftirfarandi fullyrðingar.

(a) Runan \((x_n)\) er ekki takmörkuð að ofan ef og aðeins ef \(\limsup x_n = \infty\).

(b) Runan \((x_n)\) stefnir á \(-\infty\) ef og aðeins ef \(\limsup x_n = -\infty\).

(c) Runan \((x_n)\) er ekki takmörkuð að neðan ef og aðeins ef \(\liminf x_n = -\infty\).

(d) Runan \((x_n)\) stefnir á \(\infty\) ef og aðeins ef \(\liminf x_n = \infty\).

Dæmi 4

Látum \((c_n)\) vera runu í opna bilinu \((0, \infty)\). Gerið grein fyrir að eftirfarandi ójöfnur gilda.

\[ \liminf\frac{c_{n+1}}{c_n} \leq \liminf\sqrt[n]{c_n} \quad \text{og} \quad \limsup\sqrt[n]{c_n} \leq \frac{c_{n+1}}{c_n} \]

Dæmi 5

Látum \((z_n)_{n\geq0}\) vera tvinntalnarunu. Sannið eftirfarandi fullyrðingar.

(a) Röðin \(\sum_{n=0}^\infty z_n\) er alsamleitin ef \(\limsup\sqrt[n]{z_n} < 1\)

(b) Röðin \(\sum_{n=0}^\infty z_n\) er ósamleitin ef \(\limsup\sqrt[n]{z_n} > 1\)

(c) Ef \(\limsup\sqrt[n]{|z_n|} = 1\), þá gæti röðin \(\sum_{n=0}^\infty z_n\) verið hvort sem er samleitin eða ósamleitin.

Dæmi 6

Látum \(\sum_{n\geq0} c_nz^n\) vera veldaröð (í tvinntölum) og setjum

\[ \alpha := \limsup \sqrt[n]{|c_n|}. \]

Sannið eftirfarandi fullyrðingar:

(a) Ef \(\alpha = 0\), þá er \(\infty\) samleitnigeisli raðarinnar.

(b) Ef \(\alpha > 0\), þá er \(\frac1\alpha\) samleitnigeisli raðarinnar.

Dæmi 7

Látum \((a_j)_{j\in J}\) vera fjölskyldu í \([0, \infty]\) og \(\mathcal S\) tákna mengi allra talna af gerðinni \(\sum_{j\in F} a_j\), þar sem F er hlutmengi í J sem hefur aðeins endanlega mörg stök. Setjum svo

\[ \sum_{j\in J}a_j := \sup(\mathcal S) \]

og segjum að fjölskyldan \((a_j)_{j\in J}\) sé samleggjanleg ef \(\sum_{j\in J} < \infty\).

Sýnið: Ef fjölskyldan er samleggjanleg, þá er teljanlegt hlutmengi I í J, sem hefur þann eiginleika að \(a_j = 0\) fyrir öll \(j \in J \backslash I\).