Vikublað 1

Dæmi 1

Látum $(x_n)$ vera runu í $\mathbb R$ og M vera rauntölu. Sýnið að rauntalan M sé efra markgildi rununnar ef og aðeins ef hún hefur eftirfarandi eiginleika:

• Fyrir sérhvert $\varepsilon > 0$ gildir að mengið $\{n \in \mathbb N | x_n \geq M + \varepsilon\}$ er endanlegt og mengið $\{n \in \mathbb N | x_n \geq M - \varepsilon\}$ er óendanlegt.

Gerið síðan grein fyrir að neðra mark rununnar uppfylli sambærilegan eiginleika.

Dæmi 2

Látum $(a_n)$ og $(b_n)$ vera runur í $\mathbb R$ og gerum ráð fyrir að runan $(b_n)$ sé samleitin (í $\overline{\mathbb R}$). Gerið grein fyrir hvenær eftirfarandi jöfnur eru uppfylltar í þeim tilfellum þegar báðar hliðar hafa merkingu.

(a) $\liminf(a_n + b_n) = \liminf a_n + \lim b_n$ og $\limsup(a_n + b_n) = \limsup a_n + \lim b_n$

(b) $\liminf(a_nb_n) = (\liminf a_n)(\lim b_n)$ og $\limsup(a_nb_n) = (\limsup a_n)(\lim b_n)$

Dæmi 3

Látun $(x_n)$ vera runu í $\mathbb R$. Sannið eftirfarandi fullyrðingar.

(a) Runan $(x_n)$ er ekki takmörkuð að ofan ef og aðeins ef $\limsup x_n = \infty$.

(b) Runan $(x_n)$ stefnir á $-\infty$ ef og aðeins ef $\limsup x_n = -\infty$.

(c) Runan $(x_n)$ er ekki takmörkuð að neðan ef og aðeins ef $\liminf x_n = -\infty$.

(d) Runan $(x_n)$ stefnir á $\infty$ ef og aðeins ef $\liminf x_n = \infty$.

Dæmi 4

Látum $(c_n)$ vera runu í opna bilinu $(0, \infty)$. Gerið grein fyrir að eftirfarandi ójöfnur gilda.

$$\liminf\frac{c_{n+1}}{c_n} \leq \liminf\sqrt[n]{c_n} \quad \text{og} \quad \limsup\sqrt[n]{c_n} \leq \frac{c_{n+1}}{c_n}$$

Dæmi 5

Látum $(z_n)_{n\geq0}$ vera tvinntalnarunu. Sannið eftirfarandi fullyrðingar.

(a) Röðin $\sum_{n=0}^\infty z_n$ er alsamleitin ef $\limsup\sqrt[n]{z_n} < 1$

(b) Röðin $\sum_{n=0}^\infty z_n$ er ósamleitin ef $\limsup\sqrt[n]{z_n} > 1$

(c) Ef $\limsup\sqrt[n]{|z_n|} = 1$, þá gæti röðin $\sum_{n=0}^\infty z_n$ verið hvort sem er samleitin eða ósamleitin.

Dæmi 6

Látum $\sum_{n\geq0} c_nz^n$ vera veldaröð (í tvinntölum) og setjum

$$\alpha := \limsup \sqrt[n]{|c_n|}.$$

Sannið eftirfarandi fullyrðingar:

(a) Ef $\alpha = 0$, þá er $\infty$ samleitnigeisli raðarinnar.

(b) Ef $\alpha > 0$, þá er $\frac1\alpha$ samleitnigeisli raðarinnar.

Dæmi 7

Látum $(a_j)_{j\in J}$ vera fjölskyldu í $[0, \infty]$ og $\mathcal S$ tákna mengi allra talna af gerðinni $\sum_{j\in F} a_j$, þar sem F er hlutmengi í J sem hefur aðeins endanlega mörg stök. Setjum svo

$$\sum_{j\in J}a_j := \sup(\mathcal S)$$

og segjum að fjölskyldan $(a_j)_{j\in J}$ sé samleggjanleg ef $\sum_{j\in J} < \infty$.

Sýnið: Ef fjölskyldan er samleggjanleg, þá er teljanlegt hlutmengi I í J, sem hefur þann eiginleika að $a_j = 0$ fyrir öll $j \in J \backslash I$.