4 Jordan-mælanleg mengi

• Látum $a$ og $b$ vera rauntölur sem uppfylla $a\leq b$ og I vera bil (opið, hálfopið eða lokað) með endapunkta $a$ og $b$. Þá setjum við $|I| := b - a$ og köllum lengd bilsins I.

• Faldmengi $d$ bila, $B := I_1 \times \dots \times I_d$ kallast kassi í $\mathbb R^d$ eða $d-$kassi. Töluna

$$|B| := |I_1| \dots |I_d|$$

köllum við $d-$rúmmál kassans B.

• Sammengi endanlega margra $d-$kassa köllum við kassastæðu (í $\mathbb R^d$).

---

4.1 Setning

Látum E og F vera kassastæður í $\mathbb R^d$. Þá eru mengin $E\cup F$, $E\cap F$, $E\backslash F$ og $E\Delta F$ einnig kassastæður. Ennfremur er sérhvert mengi af gerðinni $E + v$ kassastæða.

Setning 3.1.2

Sérhver kassastæða í $\mathbb R^d$ er sammengi endanlega margra innbyrðis sundurlægra $d-$kassa.

---

4.2 Setning

Látum $B_1, \dots, B_k$ vera innbyrðis sundurlæga $d-$kassa og $C_1, \dots C_l$ vera innbyrðis sundurlæka $d-$kassa og gerum ráð fyrir að $B_1 \cup \dots \cup B_k = C_1 \cup \dots \cup C_l$. Þá gildir

$$|B_1| + \dots + |B_k| = |C_1| + \dots + |C_l|$$

---

4.3 Skilgreining

Látum E vera kassastæðu í $\mathbb R^d$. Þá er unnt að skrifa $E = B_1 \cup \dots \cup B_k$ þar sem $B_1, \dots, B_k$ eru innbyrðis sundurlægir $d-$kassar. Samkvæmt setningu 3.1.3 er talan

$$m(E) := |B_1| + \dots + |B_k|$$

óháð valinu á innbyrðis sundurlægu kössunum og við köllum hana $d-$rúmmál kassastæðunnar $E$.

---

4.3.1 Athugasemdir

• Fyrir sérhverja kassasstæðu E gildir að $m(E) \geq 0$

• Tómamengið er kassastæða og $m(\emptyset) = 0$

---

4.4 Setning

Látum E og F vera kassastæður í $\mathbb R^d$ og $v \in \mathbb R^d$. Þá gildir

(i) $m(E\cup F) \leq m(E) + m(F)$ og jafnaðarmerkið gildir ef $E\cap F = \emptyset$.

(ii) $m(E + v) = m(E)$.

---

4.5 Skilgreining

Látum X vera takmarkað hlutmengi í $\mathbb R^d$.

(i) Látum $Jm_*(X)$ tákna efra mark mengis allra talnna af gerðinni $m(E)$, þar sem E er kassastæða sem er innihaldin í X. Þessa tölu köllum við Jordan-innanmál mengisins X.

(ii) Látum $Jm^*(X)$ tákna neðra mark mengis allra talna af gerðinni $m(E)$, þar sem E er kassastæða sem inniheldur X. Þessa tölu köllum við Jordan-utanmál mengisins X.

(iii) Við segjum að X sé Jordan-mælanlegt ef $Jm^*(X) = Jm_*(X)$. Ef svo er þá setjum við $m(X) := Jm^*(X) = Jm_*(X)$ og segjum að $m(X)$ sé Jordan-mál mengisins X.

---

4.6 Setning

Látum E og F vera Jordan-mælanleg hlutmengi í $\mathbb R^d$. Þá gildir:

(i) Mengin $E\cup F$, $E\cap F$, $E\backslash F$ og $E\Delta F$ eru Jordan-mælanleg.

(ii) $m(E) \geq 0$.

(iii) Ef $E\cap F = \emptyset$, þá $m(E\cup F) = m(E) + m(F)$

(iv) Ef $E \subset F$, þá $m(E) \leq m(F)$

(v) $m(E\cup F) \leq m(E) + m(F)$

(vi) Fyrir sérhvert $v$ úr $\mathbb R^d$ gildir að $E + v$ er Jordan-mælanlegt og $m(E + v) = m(E)$

---

4.7 Setning

Takmarkað hlutmengi E í $\mathbb R^d$ er Jordan-mælanlegt ef og aðeins ef jaðar þess, $\partial E$, hefur Jordan-utanmál núll.

---

4.7.1 Athugasemd

Opin mengi í $\mathbb R^d$ eru ekki öll Jordan-mælanleg. *(Sjá dæmi 4 á vikublaði 3).

---