4 Jordan-mælanleg mengi

  • Látum \(a\) og \(b\) vera rauntölur sem uppfylla \(a\leq b\) og I vera bil (opið, hálfopið eða lokað) með endapunkta \(a\) og \(b\). Þá setjum við \(|I| := b - a\) og köllum lengd bilsins I.

  • Faldmengi \(d\) bila, \(B := I_1 \times \dots \times I_d\) kallast kassi í \(\mathbb R^d\) eða \(d-\)kassi. Töluna

\[ |B| := |I_1| \dots |I_d| \]

köllum við \(d-\)rúmmál kassans B.

  • Sammengi endanlega margra \(d-\)kassa köllum við kassastæðu (í \(\mathbb R^d\)).

4.1 Setning

Látum E og F vera kassastæður í \(\mathbb R^d\). Þá eru mengin \(E\cup F\), \(E\cap F\), \(E\backslash F\) og \(E\Delta F\) einnig kassastæður. Ennfremur er sérhvert mengi af gerðinni \(E + v\) kassastæða.

Setning 3.1.2

Sérhver kassastæða í \(\mathbb R^d\) er sammengi endanlega margra innbyrðis sundurlægra \(d-\)kassa.

4.2 Setning

Látum \(B_1, \dots, B_k\) vera innbyrðis sundurlæga \(d-\)kassa og \(C_1, \dots C_l\) vera innbyrðis sundurlæka \(d-\)kassa og gerum ráð fyrir að \(B_1 \cup \dots \cup B_k = C_1 \cup \dots \cup C_l\). Þá gildir

\[ |B_1| + \dots + |B_k| = |C_1| + \dots + |C_l| \]

4.3 Skilgreining

Látum E vera kassastæðu í \(\mathbb R^d\). Þá er unnt að skrifa \(E = B_1 \cup \dots \cup B_k\) þar sem \(B_1, \dots, B_k\) eru innbyrðis sundurlægir \(d-\)kassar. Samkvæmt setningu 3.1.3 er talan

\[ m(E) := |B_1| + \dots + |B_k| \]

óháð valinu á innbyrðis sundurlægu kössunum og við köllum hana \(d-\)rúmmál kassastæðunnar \(E\).

4.3.1 Athugasemdir

  • Fyrir sérhverja kassasstæðu E gildir að \(m(E) \geq 0\)

  • Tómamengið er kassastæða og \(m(\emptyset) = 0\)

4.4 Setning

Látum E og F vera kassastæður í \(\mathbb R^d\) og \(v \in \mathbb R^d\). Þá gildir

(i) \(m(E\cup F) \leq m(E) + m(F)\) og jafnaðarmerkið gildir ef \(E\cap F = \emptyset\).

(ii) \(m(E + v) = m(E)\).

4.5 Skilgreining

Látum X vera takmarkað hlutmengi í \(\mathbb R^d\).

(i) Látum \(Jm_*(X)\) tákna efra mark mengis allra talnna af gerðinni \(m(E)\), þar sem E er kassastæða sem er innihaldin í X. Þessa tölu köllum við Jordan-innanmál mengisins X.

(ii) Látum \(Jm^*(X)\) tákna neðra mark mengis allra talna af gerðinni \(m(E)\), þar sem E er kassastæða sem inniheldur X. Þessa tölu köllum við Jordan-utanmál mengisins X.

(iii) Við segjum að X sé Jordan-mælanlegt ef \(Jm^*(X) = Jm_*(X)\). Ef svo er þá setjum við \(m(X) := Jm^*(X) = Jm_*(X)\) og segjum að \(m(X)\) sé Jordan-mál mengisins X.

4.6 Setning

Látum E og F vera Jordan-mælanleg hlutmengi í \(\mathbb R^d\). Þá gildir:

(i) Mengin \(E\cup F\), \(E\cap F\), \(E\backslash F\) og \(E\Delta F\) eru Jordan-mælanleg.

(ii) \(m(E) \geq 0\).

(iii) Ef \(E\cap F = \emptyset\), þá \(m(E\cup F) = m(E) + m(F)\)

(iv) Ef \(E \subset F\), þá \(m(E) \leq m(F)\)

(v) \(m(E\cup F) \leq m(E) + m(F)\)

(vi) Fyrir sérhvert \(v\) úr \(\mathbb R^d\) gildir að \(E + v\) er Jordan-mælanlegt og \(m(E + v) = m(E)\)

4.7 Setning

Takmarkað hlutmengi E í \(\mathbb R^d\) er Jordan-mælanlegt ef og aðeins ef jaðar þess, \(\partial E\), hefur Jordan-utanmál núll.

4.7.1 Athugasemd

Opin mengi í \(\mathbb R^d\) eru ekki öll Jordan-mælanleg. *(Sjá dæmi 4 á vikublaði 3).