14 Heildun jákvæðra falla

14.1 Skilgreining

Látum $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ vera málrúm, $f: \Omega \rightarrow [0, \infty]$ vera mælanlegt fall, $E\in \mathcal F$ og $Y(E,f)$ vera mengi allra talna af gerðinni $\int_E t d\mu$ þar sem $t$ er einfalt fall á málrúminu, sem uppfyllir $0 \leq t(x) \leq f(x)$ fyrir öll $x$ úr $\Omega$. Þá kallast

$$\int_E f d\mu := \sup Y(E,f)$$

Lebesgue-heildi fallsins $f$ yfir mengið $E$ m.t.t. málsins $\mu$.

---

14.2 Setning

Látum $f$ og $g$ vera mælanleg föll á málrúmi $(\Omega, \mathcal F, \mu)$, sem uppfylla $0 \leq f \leq g$, og $E \subseteq F$ vera mælanleg mengi. Þá gildir:

1. $\int_E f d\mu \leq \int_E g d\mu$

2. $\int_E f d\mu = \int_\Omega f \cdot \mathbf 1_E d\mu$

3. $\int_E f d\mu \leq \int_F f d\mu$

4. $\int_E cf d\mu = c\int_E f d\mu, \quad \forall c \in \mathbb R_+$

5. Fallið $f$ er núll næstum alls staðar þá og því aðeins að $\int_\Omega f d\mu = 0$

---

Sönnun.

---

14.3 Setning [Um einhalla samleitni] (Lebesgue)

Látum $(f_n)_{n\geq1}$ vera vaxandi runu af mælanlegum föllum á málrúmi $(\Omega, \mathcal F, \mu)$, sem taka gildi sín í $[0, \infty]$, og gerum ráð fyrir að runan stefni á fall $f: \Omega \rightarrow [0, \infty]$. Með öðrum orðum eru eftirfarandi skilyrði uppfylt:

1. $0\leq f_1(x) \leq f_2(x) \leq \dots \leq \infty$ fyrir öll $x$ úr $\Omega$.

2. $\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x) = f(x)$ fyrir öll $x$ úr $\Omega$.

Þá er $f$ mælanlegt fall og

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_nd\mu = \int_\Omega f d\mu$$

---

Sönnun.

---

14.4 Setning

Látum $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ vera málrúm og $f,g:\Omega\rightarrow [0,\infty]$ vera mælanleg föll. Þá gildir

$$\int_{\Omega}(f + g)d\mu = \int_{\Omega}fd\mu + \int_\Omega gd\mu$$

---

Sönnun.

---

14.5 Setning [Fatou]

Látum $(f_n)_{n\geq1}$ vera runu af mælanlegum föllum á málrúmi $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ sem taka gildi sín í $[0, \infty]$. Þá gildir

$$\int_\Omega(\liminf_{n\rightarrow\infty}f_n)d\mu \leq \liminf_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_n d\mu$$

---

Sönnun. Gerum ráð fyrir að $0 \leq g \leq f$, þar sem $g$ er takmarkað fall með stoð á mengi $E$ með endanlegt mál. Ef við setjum $g_n(x) = \min(g(x),f_n(x))$, þá er $g_n$ mælanlegt á E og $g_n(x) \rightarrow g(x)$ næstum alls staðar, svo að

$$\int g_n \rightarrow \int g.$$

Samkvæmt skilgreiningu höfum við líka $g_n \leq f_n$, svo að $\int g_n \leq \int f_n$, og þar af leiðir

$$\int g \leq \liminf_{n\rightarrow \infty}\int f_n.$$

Með því að taka supremum yfir öll slík $g$ er ójafnan sönnuð.

---

14.6 Setning

Látum $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ vera málrúm, $f:\Omega\rightarrow[0, \infty]$ vera mælanlegt fall og skilgreinum fall

$$\lambda:\mathcal F \rightarrow [0,\infty], \quad E\rightarrow \int_E fd\mu$$

1. Fallið $\lambda$ er mál á $\mathcal F$.

2. Ef $\mu(E) = 0$, þá er $\lambda(E) = 0$.

Mál $\lambda$ á $(\Omega, \mathcal F, \mu)$, sem fullnægir skilyrði (ii), er sagt vera alsamfellt með tilliti til $\mu$.

---

Sönnun.

---

14.7 Setning

Látum $(f_n)_{n\geq1}$ vera vaxandi runu af föllum frá málrúmi $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ inn í $[0, \infty]$, sem stefnir n.a. á mælanlegt fall $f$. Þá gildir

$$\int_\Omega fd\mu = \lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_n d\mu$$

---

Sönnun.

---