20 \(L^p\)-rúm

Í þessari grein verður gert ráð fyrir að mælanlegu föllin sem um ræðir séu tvinngild nema annað sé tekið fram.

20.1 Upprifjun

Látum \(V\) vera vigurrúm (yfir \(\mathbb R\) eða \(\mathbb C\)). Við segjum að raungilt fann \(N\) á \(V\) sé norm eða staðall á V, ef það uppfyllir eftirfarandi skilyrði:

  1. \(N(v) \geq 0\) fyrir öll \(v\) úr \(V\)
  2. \(N(v) = 0\) þá og því aðeins að \(v = 0\)
  3. \(N(cv) = |c|N(v)\) fyrir öll \(v\) úr \(V\) og allar tölur \(c\)
  4. \(N(u + v) \leq N(u) + N(v)\) fyrir öll \(u\) og \(v\) úr \(V\)

Sé skilyrði 2. sleppt kallsat N hálfnorm eða hálfstaðall.

20.2 Setning

Látum \((\Omega,\mathcal F, \mu)\) vera málrúm. Þá gerir venjuleg samlegning falla og margföldun þeirra með tölu mengið \(\mathcal L^1(\Omega,\mu)\) að \(\mathbb C\)-vigurrúmi og fallið

\[ N_\mu: \mathcal L^1(\Omega,\mu)\rightarrow\mathbb R, \quad f\rightarrow\int_\Omega|f|d\mu \]

er hálfnorm.

Skilgreinum vensl á \(\mathcal L^1(\Omega,\mu)\) með því að segja að \(f\) sé \(\mu\)jafngilt \(g\), táknað \(f\sim_\mu g\), ef \(f\) og \(g\) eru eins næstum alls staðar m.t.t. \(\mu\).

20.3 Æfing

Sýnið að \(\sim_\mu\) séu jafngildisvensl á \(\mathcal L^1(\Omega,\mu)\).

Setjum \(L^1(\Omega,\mu) := \mathcal L^1(\Omega,\mu)\backslash\sim_\mu\) og táknum jafngildisflokk falls \(f\) úr \(\mathcal L^1(\Omega,\mu)\) með \([f]\).

20.4 Setning

Aðgerðirnar \(c[f]:=[cf]\) og \([f] + [g] := [f + g]\) eru vel skilgreindar á \(L^1(\Omega,\mu)\) og gera \(L^1(\Omega,\mu)\) að vigurrúmi. Jafnframt er fallið

\[ ||\cdot||_1: L^1(\Omega,\mu)\rightarrow\mathbb R,\quad[f]\rightarrow||[f]||_1:=\int_\Omega|f|d\mu \]

vel skilgreint norm.

Við munum iðulega leyfa okkur að skrifa \(||f||_1\) í stað \(||[f]||_1\).

20.5 Uppfrifjun

Látum \(a\) og \(b\) vera úr \([-\infty,\infty]\). Raungilt fall \(\varphi\) á opna bilinu \((a,b)\) er sagt kúpt ef um öll \(x,y\in(a,b)\) og öll \(\lambda\in[0,1]\) gildir

\[ \varphi[(1-\lambda)x + \lambda y] \leq (1 - \lambda)\varphi(x) + \lambda\varphi(y). \]

20.6 Æfing

Látum \(a,b\in[-\infty,\infty]\). Sannið eftirfarandi fullyrðingar.

  1. Fall \(\varphi:(a,b)\rightarrow\mathbb R\) er kúpt þá og því aðeins að um allar rauntölur \(s,t\) og \(u\), sem uppfylla \(a<s<t<u<b\), gildi

\[ \frac{\varphi(t) - \varphi(s)}{t - s} \leq \frac{\varphi(u) - \varphi(t)}{u - t}. \]

  1. Diffranlegt fall á \((a,b)\) er kúpt þá og því aðeins að afleiða þess sé vaxandi á \((a,b)\).

  2. Öll kúpt föll á \((a,b)\) eru samfelld á \((a,b)\).

Lausn.

20.7 Setning (Ójafna Jensens)

Látum \((\Omega,\mathcal F,\mu)\) vera málrúm sem uppfyllir \(\mu(\Omega)=1\), þ.e. líkindarúm. Látum \(a,b\in[-\infty,\infty]\) og \(f:\Omega\rightarrow(a,b)\) vera heildanleft fall. Þá gildir um sérhvert kúpt fall \(\varphi\) á \((a,b)\) að

\[ \varphi\left(\int_\Omega fd\mu\right) \leq \int_\Omega (\varphi\circ f)d\mu. \]

Sönnun.

20.8 Setning (Ójöfnur Hölders og Minkowski)

Látum \((\Omega,\mathcal F,\mu)\) vera málrúm og \(p\) og \(q\) vera tölur úr \((1,\infty)\) sem uppfylla \(\frac1p + \frac1q = 1\). Um öll mælanleg föll \(f,g:\Omega\rightarrow[0,\infty]\) gilda þá jöfnurnar:

\[ \int_\Omega fgd\mu \leq \left(\int_\Omega f^pd\mu\right)^{\frac1p}\left(\int_\Omega g^qd\mu\right)^{\frac1q} \]

og

\[ \left(\int_\Omega (f+g)^pd\mu\right)^\frac1p \leq \left(\int_\Omega f^pd\mu\right)^{\frac1p} + \left(\int_\Omega g^pd\mu\right)^{\frac1p} \]

Fyrri ójafnan er kennd við Hölder og sú síðari við Minkowski.

Sönnun.