20 $L^p$-rúm

Í þessari grein verður gert ráð fyrir að mælanlegu föllin sem um ræðir séu tvinngild nema annað sé tekið fram.

20.1 Upprifjun

Látum $V$ vera vigurrúm (yfir $\mathbb R$ eða $\mathbb C$). Við segjum að raungilt fann $N$ á $V$ sé norm eða staðall á V, ef það uppfyllir eftirfarandi skilyrði:

1. $N(v) \geq 0$ fyrir öll $v$ úr $V$
2. $N(v) = 0$ þá og því aðeins að $v = 0$
3. $N(cv) = |c|N(v)$ fyrir öll $v$ úr $V$ og allar tölur $c$
4. $N(u + v) \leq N(u) + N(v)$ fyrir öll $u$ og $v$ úr $V$

Sé skilyrði 2. sleppt kallsat N hálfnorm eða hálfstaðall.

---

20.2 Setning

Látum $(\Omega,\mathcal F, \mu)$ vera málrúm. Þá gerir venjuleg samlegning falla og margföldun þeirra með tölu mengið $\mathcal L^1(\Omega,\mu)$ að $\mathbb C$-vigurrúmi og fallið

$$N_\mu: \mathcal L^1(\Omega,\mu)\rightarrow\mathbb R, \quad f\rightarrow\int_\Omega|f|d\mu$$

er hálfnorm.

---

Skilgreinum vensl á $\mathcal L^1(\Omega,\mu)$ með því að segja að $f$ sé $\mu$jafngilt $g$, táknað $f\sim_\mu g$, ef $f$ og $g$ eru eins næstum alls staðar m.t.t. $\mu$.

20.3 Æfing

Sýnið að $\sim_\mu$ séu jafngildisvensl á $\mathcal L^1(\Omega,\mu)$.

---

Setjum $L^1(\Omega,\mu) := \mathcal L^1(\Omega,\mu)\backslash\sim_\mu$ og táknum jafngildisflokk falls $f$ úr $\mathcal L^1(\Omega,\mu)$ með $[f]$.

20.4 Setning

Aðgerðirnar $c[f]:=[cf]$ og $[f] + [g] := [f + g]$ eru vel skilgreindar á $L^1(\Omega,\mu)$ og gera $L^1(\Omega,\mu)$ að vigurrúmi. Jafnframt er fallið

$$||\cdot||_1: L^1(\Omega,\mu)\rightarrow\mathbb R,\quad[f]\rightarrow||[f]||_1:=\int_\Omega|f|d\mu$$

vel skilgreint norm.

---

Við munum iðulega leyfa okkur að skrifa $||f||_1$ í stað $||[f]||_1$.

20.5 Uppfrifjun

Látum $a$ og $b$ vera úr $[-\infty,\infty]$. Raungilt fall $\varphi$ á opna bilinu $(a,b)$ er sagt kúpt ef um öll $x,y\in(a,b)$ og öll $\lambda\in[0,1]$ gildir

$$\varphi[(1-\lambda)x + \lambda y] \leq (1 - \lambda)\varphi(x) + \lambda\varphi(y).$$

20.6 Æfing

Látum $a,b\in[-\infty,\infty]$. Sannið eftirfarandi fullyrðingar.

1. Fall $\varphi:(a,b)\rightarrow\mathbb R$ er kúpt þá og því aðeins að um allar rauntölur $s,t$ og $u$, sem uppfylla $a<s<t<u<b$, gildi

$$\frac{\varphi(t) - \varphi(s)}{t - s} \leq \frac{\varphi(u) - \varphi(t)}{u - t}.$$

2. Diffranlegt fall á $(a,b)$ er kúpt þá og því aðeins að afleiða þess sé vaxandi á $(a,b)$.

3. Öll kúpt föll á $(a,b)$ eru samfelld á $(a,b)$.

---

Lausn.

---

20.7 Setning (Ójafna Jensens)

Látum $(\Omega,\mathcal F,\mu)$ vera málrúm sem uppfyllir $\mu(\Omega)=1$, þ.e. líkindarúm. Látum $a,b\in[-\infty,\infty]$ og $f:\Omega\rightarrow(a,b)$ vera heildanleft fall. Þá gildir um sérhvert kúpt fall $\varphi$ á $(a,b)$ að

$$\varphi\left(\int_\Omega fd\mu\right) \leq \int_\Omega (\varphi\circ f)d\mu.$$

---

Sönnun.

---

20.8 Setning (Ójöfnur Hölders og Minkowski)

Látum $(\Omega,\mathcal F,\mu)$ vera málrúm og $p$ og $q$ vera tölur úr $(1,\infty)$ sem uppfylla $\frac1p + \frac1q = 1$. Um öll mælanleg föll $f,g:\Omega\rightarrow[0,\infty]$ gilda þá jöfnurnar:

$$\int_\Omega fgd\mu \leq \left(\int_\Omega f^pd\mu\right)^{\frac1p}\left(\int_\Omega g^qd\mu\right)^{\frac1q}$$

og

$$\left(\int_\Omega (f+g)^pd\mu\right)^\frac1p \leq \left(\int_\Omega f^pd\mu\right)^{\frac1p} + \left(\int_\Omega g^pd\mu\right)^{\frac1p}$$

Fyrri ójafnan er kennd við Hölder og sú síðari við Minkowski.

---

Sönnun.

---