10 Fullkomin málrúm

10.1 Skilgreining

Málrúm $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ er sagt fullkomið ef það fullnægir eftirfarandi skilyrði:

• Fyrir sérhvert $A \in \mathcal F$ þannig að $\mu(A) = 0$ gildir að öll hlutmengi B í A tilheyra $\mathcal F$ (og þar með $\mu(B) = 0$).

---

10.2 Setning

Látum $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ vera málrúm og látum $\mathcal G$ vera safn allra hlutmengja E í $\Omega$ sem hafa þann eiginleika að til eru A og B úr $\mathcal F$ sem uppfylla

$$A \subseteq E \subseteq B \quad \text{og} \quad \mu(B\backslash A) = 0.$$

Þá er $\mathcal G$ $\sigma$-algebra á $\Omega$.

---

10.2.1 Athugasemd

Við segjum að $\mathcal G$ sé $\mu$-fullkomnun $\sigma$-algebrunnar $\mathcal F$.

---

10.3 Setning

Látum $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ vera málrúm og látum $\mathcal G$ vera $\mu$-fullkomnun $\sigma$-algebrunnar $\mathcal F$. Þá er til nákvæmlega eitt mál

$$\mu_c: \mathcal G \rightarrow [0, \infty]$$

sem framlengir málið $\mu$. Ennfremur gildir að málrúmið $(\Omega, \mathcal G, \mu_c)$ er fullkomið.

---

10.3.1 Athugasemd

Málið $\mu_c$ kallast fullkomnun málsins $\mu$ og málrúmið $(\Omega, \mathcal G, \mu_c)$ kallast fullkomnun málrúmsins $(\Omega, \mathcal F, \mu)$

---

Látum $\mathcal B$ tákna Borel-algebruna á $\mathbb R^d$, þ.e.a.s. $\sigma$-algebruna sem opnu mengin í $\mathbb R^d$ framleiða.

---

10.4 Setning

$\mathcal M$ er $m$-fullkomnun $\mathcal B$.

---

10.5 Setning

$\mathcal M$ er stærsta $\sigma$-algebra á $\mathbb R^d$, sem fullnægur tveimur skilyrðum:

• $\mathcal B \subset \mathcal M$

• Einskorðun $m^*$ við $\mathcal M$ er mál.

---