10 Fullkomin málrúm
10.1 Skilgreining
Málrúm \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) er sagt fullkomið ef það fullnægir eftirfarandi skilyrði:
- Fyrir sérhvert \(A \in \mathcal F\) þannig að \(\mu(A) = 0\) gildir að öll hlutmengi B í A tilheyra \(\mathcal F\) (og þar með \(\mu(B) = 0\)).
10.2 Setning
Látum \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) vera málrúm og látum \(\mathcal G\) vera safn allra hlutmengja E í \(\Omega\) sem hafa þann eiginleika að til eru A og B úr \(\mathcal F\) sem uppfylla
\[ A \subseteq E \subseteq B \quad \text{og} \quad \mu(B\backslash A) = 0. \]
Þá er \(\mathcal G\) \(\sigma\)-algebra á \(\Omega\).
10.2.1 Athugasemd
Við segjum að \(\mathcal G\) sé \(\mu\)-fullkomnun \(\sigma\)-algebrunnar \(\mathcal F\).
10.3 Setning
Látum \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) vera málrúm og látum \(\mathcal G\) vera \(\mu\)-fullkomnun \(\sigma\)-algebrunnar \(\mathcal F\). Þá er til nákvæmlega eitt mál
\[ \mu_c: \mathcal G \rightarrow [0, \infty] \]
sem framlengir málið \(\mu\). Ennfremur gildir að málrúmið \((\Omega, \mathcal G, \mu_c)\) er fullkomið.
10.3.1 Athugasemd
Málið \(\mu_c\) kallast fullkomnun málsins \(\mu\) og málrúmið \((\Omega, \mathcal G, \mu_c)\) kallast fullkomnun málrúmsins \((\Omega, \mathcal F, \mu)\)
Látum \(\mathcal B\) tákna Borel-algebruna á \(\mathbb R^d\), þ.e.a.s. \(\sigma\)-algebruna sem opnu mengin í \(\mathbb R^d\) framleiða.
10.4 Setning
\(\mathcal M\) er \(m\)-fullkomnun \(\mathcal B\).
10.5 Setning
\(\mathcal M\) er stærsta \(\sigma\)-algebra á \(\mathbb R^d\), sem fullnægur tveimur skilyrðum:
\(\mathcal B \subset \mathcal M\)
Einskorðun \(m^*\) við \(\mathcal M\) er mál.