5 Tröppuföll og heildi þeirra

Látum R vera kassa í \(\mathbb R^d\). Safn af \(d-\)kössum \(B_1, \dots, B_k\), sem eru innbyrðis sundurlægir og uppfylla \(R = B_1 \cup \dots \cup B_k\), köllum skiptingu á R og segjum þá að \(B_1, \dots, B_k\) séu kassar skiptingarinnar. Skipting \(C_1, \dots, C_l\) á kassa R er sögn fínni en skipting \(B_1, \dots, B_k\) á R ef fyrir sérhvert \(j\) er til \(i\) þannig að \(C_j \subseteq B_i\).

---

5.1 Setning

Fyrir sérhverjar tvær skiptingar á kassa R er til skipting sem er fínni en þær báðar.

---

Látum R vera kassa í \(\mathbb R^d\). Við segjum að fall \(t: R \rightarrow \mathbb R\) sé tröppufall ef til er skipting \(R = B_1 \cup \dots \cup B_k\) sem hefur þann eiginleika að einskorðun \(t\) við \(B_j\) er fastafall fyrir sérhvert \(j\). Þá er sagt að \(t\) sé tröppufall með tilliti til skiptingarinnar.

---

5.2 Setning

Látum \(t\) vera tröppufall með tilliti til skiptinga \(R = A_1 \cup \dots \cup A_l\) og \(R = B_1 \cup \dots \cup B_k\). Látum \(a_i\) tákna (eina) gildið sem fallið \(t\) tekur í \(A_i\) og \(b_j\) tákna (eina) gildið sem fallið \(t\) tekur í \(B_j\). Þá gildir

\[ \sum_{i=1}^l a_i|A_i| = \sum_{j=1}^k b_j|B_j| \]

---

5.3 Setning

Látum \(t\) vera tröppufall á kassa R með tilliti til skiptingar \(R = B_1 \cup \dots \cup B_k\) og látum \(b_j\) tákna (eina) gildið sem fallið \(t\) tekur í \(B_j\). Þá segjum við að

\[ \int_R t := \sum_{j=1}^k b_j|B_j| \]

sé heildi fallsins \(t\) yfir \(R\)

---