5 Tröppuföll og heildi þeirra

Látum R vera kassa í $\mathbb R^d$. Safn af $d-$kössum $B_1, \dots, B_k$, sem eru innbyrðis sundurlægir og uppfylla $R = B_1 \cup \dots \cup B_k$, köllum skiptingu á R og segjum þá að $B_1, \dots, B_k$ séu kassar skiptingarinnar. Skipting $C_1, \dots, C_l$ á kassa R er sögn fínni en skipting $B_1, \dots, B_k$ á R ef fyrir sérhvert $j$ er til $i$ þannig að $C_j \subseteq B_i$.

---

5.1 Setning

Fyrir sérhverjar tvær skiptingar á kassa R er til skipting sem er fínni en þær báðar.

---

Látum R vera kassa í $\mathbb R^d$. Við segjum að fall $t: R \rightarrow \mathbb R$ sé tröppufall ef til er skipting $R = B_1 \cup \dots \cup B_k$ sem hefur þann eiginleika að einskorðun $t$ við $B_j$ er fastafall fyrir sérhvert $j$. Þá er sagt að $t$ sé tröppufall með tilliti til skiptingarinnar.

---

5.2 Setning

Látum $t$ vera tröppufall með tilliti til skiptinga $R = A_1 \cup \dots \cup A_l$ og $R = B_1 \cup \dots \cup B_k$. Látum $a_i$ tákna (eina) gildið sem fallið $t$ tekur í $A_i$ og $b_j$ tákna (eina) gildið sem fallið $t$ tekur í $B_j$. Þá gildir

$$\sum_{i=1}^l a_i|A_i| = \sum_{j=1}^k b_j|B_j|$$

---

5.3 Setning

Látum $t$ vera tröppufall á kassa R með tilliti til skiptingar $R = B_1 \cup \dots \cup B_k$ og látum $b_j$ tákna (eina) gildið sem fallið $t$ tekur í $B_j$. Þá segjum við að

$$\int_R t := \sum_{j=1}^k b_j|B_j|$$

sé heildi fallsins $t$ yfir $R$

---