9 Mælanleg rúm og málrúm

9.1 Skilgreining

Látum $\Omega$ vera mengi og $\mathcal F$ vera safn hlutmengja í $\Omega$. Þá er sagt að $\mathcal F$ sé $\sigma$-algebra ef eftirfarandi skilyrði eru uppfyllt:

1. $\Omega \in \mathcal F$.

2. Ef $E\in \mathcal F$ þá $E^c \in \mathcal F$.

3. Ef $(E_n)_{n \geq 1}$ er runa af mengjum í $\mathcal F$, þá er sammengið $\bigcup_{n=1}^\infty E_n$ einnig í $\mathcal F$.

Röðuð tvennd $(\Omega, \mathcal F)$ þar sem $\Omega$ er mengi og $\mathcal F$ er $\sigma$-algebra af hlutmengjum í $\Omega$ kallast mælanlegt rúm.

---

9.2 Skilgreining

Látum $(\Omega, \mathcal F)$ vera mælanlegt rúm. Fall $\mu: \mathcal F \rightarrow [0, \infty]$ kallast mál (á $\mathcal F$) ef það hefur eftirfarandi eiginleika:

1. $\mu(\emptyset) = 0$.

2. Ef $(E_n)_{n\geq 1}$ er runa af innbyrðist sundurlægum mengjum úr $\mathcal F$ þá er

$$\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \sum_{n=1}^\infty\mu(E_n)$$

Röðuð þrennd $(\Omega, \mathcal F, \mu)$, þar sem $(\Omega, \mathcal F)$ er mælanlegt rúm og $\mu$ er mál á $\mathcal F$ kallast málrúm.

---

Látum $\mathcal M$ tákna safn allra Lebesgue-mælanlegra mengja í $\mathbb R^d$. Setning 6.2.3 segir okkur meðal annars að $\mathcal M$ sé $\sigma$-algebra (á $\mathbb R^d$) og $(\mathbb R^d, \mathcal M)$ er því mælanlegt rúm.

Þar eð $m(\emptyset) = 0$, þá gildir samkvæmt setningu 7.1.1 að fallið

$$m: \mathcal M \rightarrow \overline{\mathbb R}, \quad E \rightarrow m(E)$$

er mál og þar með er $(\mathbb R^d, \mathcal M, m)$ málrúm. Málið $m$ er kallað Lebesgue-málið á $\mathbb R^d$.

---

9.3 Setning

Gerum ráð fyrir að $(\Omega,\mathcal F, \mu)$ sé málrúm.

1. Látum $A_1, \dots, A_n$ vera innbyrðis sundurlæg mengu úr $\mathcal F$. Þá gildir

$$\mu(A_1 \cup \dots \cup A_n) = \mu(A_1) + \dots + \mu(A_n)$$

2. Ef $A, B \in \mathcal F$ og $A \subseteq B$, þá gildir $\mu(A) \leq \mu(B)$.

3. Látum $B_1 \subseteq B_2 \subseteq \dots$ vera vaxandi runu í $\mathcal F$. Þá gildir

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(B_n) = \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right).$$

4. Látum $B_1 \supseteq B_2 \supseteq \dots$ vera minnkandi runu í $\mathcal F$ og gerum ennfremur ráð fyrir að $\mu(B_1) < \infty$. Þá gildir

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(B_n) = \mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty B_n \right).$$

---

Sönnun.

---