9 Mælanleg rúm og málrúm

9.1 Skilgreining

Látum \(\Omega\) vera mengi og \(\mathcal F\) vera safn hlutmengja í \(\Omega\). Þá er sagt að \(\mathcal F\) sé \(\sigma\)-algebra ef eftirfarandi skilyrði eru uppfyllt:

  1. \(\Omega \in \mathcal F\).

  2. Ef \(E\in \mathcal F\) þá \(E^c \in \mathcal F\).

  3. Ef \((E_n)_{n \geq 1}\) er runa af mengjum í \(\mathcal F\), þá er sammengið \(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\) einnig í \(\mathcal F\).

Röðuð tvennd \((\Omega, \mathcal F)\) þar sem \(\Omega\) er mengi og \(\mathcal F\) er \(\sigma\)-algebra af hlutmengjum í \(\Omega\) kallast mælanlegt rúm.

9.2 Skilgreining

Látum \((\Omega, \mathcal F)\) vera mælanlegt rúm. Fall \(\mu: \mathcal F \rightarrow [0, \infty]\) kallast mál (á \(\mathcal F\)) ef það hefur eftirfarandi eiginleika:

  1. \(\mu(\emptyset) = 0\).

  2. Ef \((E_n)_{n\geq 1}\) er runa af innbyrðist sundurlægum mengjum úr \(\mathcal F\) þá er

\[ \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \sum_{n=1}^\infty\mu(E_n) \]

Röðuð þrennd \((\Omega, \mathcal F, \mu)\), þar sem \((\Omega, \mathcal F)\) er mælanlegt rúm og \(\mu\) er mál á \(\mathcal F\) kallast málrúm.

Látum \(\mathcal M\) tákna safn allra Lebesgue-mælanlegra mengja í \(\mathbb R^d\). Setning 6.2.3 segir okkur meðal annars að \(\mathcal M\) sé \(\sigma\)-algebra (á \(\mathbb R^d\)) og \((\mathbb R^d, \mathcal M)\) er því mælanlegt rúm.

Þar eð \(m(\emptyset) = 0\), þá gildir samkvæmt setningu 7.1.1 að fallið

\[ m: \mathcal M \rightarrow \overline{\mathbb R}, \quad E \rightarrow m(E) \]

er mál og þar með er \((\mathbb R^d, \mathcal M, m)\) málrúm. Málið \(m\) er kallað Lebesgue-málið á \(\mathbb R^d\).

9.3 Setning

Gerum ráð fyrir að \((\Omega,\mathcal F, \mu)\) sé málrúm.

  1. Látum \(A_1, \dots, A_n\) vera innbyrðis sundurlæg mengu úr \(\mathcal F\). Þá gildir

\[ \mu(A_1 \cup \dots \cup A_n) = \mu(A_1) + \dots + \mu(A_n) \]

  1. Ef \(A, B \in \mathcal F\) og \(A \subseteq B\), þá gildir \(\mu(A) \leq \mu(B)\).

  2. Látum \(B_1 \subseteq B_2 \subseteq \dots\) vera vaxandi runu í \(\mathcal F\). Þá gildir

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\mu(B_n) = \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right). \]

  1. Látum \(B_1 \supseteq B_2 \supseteq \dots\) vera minnkandi runu í \(\mathcal F\) og gerum ennfremur ráð fyrir að \(\mu(B_1) < \infty\). Þá gildir

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\mu(B_n) = \mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty B_n \right). \]

Sönnun.