13 Slembibreytur á líkindarúmum
Mælanlegt fall á líkindarúmi er yfirleitt kallað hending, slembibreyta eða slembistærð.
13.1 Skilgreining
Látum \((\Omega, \mathcal F, P)\) vera líkindarúm, \(X: \Omega \rightarrow \mathbb R\) vera slæmbistærð og látum skv. venju \(\mathcal B\) tákna Borel-algebruna á \(\mathbb R\). Þá er mengjasafnið
\[ X^{-1}(\mathcal B) := \{f^{-1}(E) | E \in \mathcal B\} \]
\(\sigma\)-algebra á \(\Omega\) og við segjum að slembistærðin X framleiði hana. Hún verður oftast táknuð \(\mathcal F_X\).
13.2 Setning
Látum \(X\) vera slembistærð á líkindarúmi \((\Omega, \mathcal F, P)\). Þá er fallið
\[ P_X: \mathcal B \rightarrow [0, \infty], \quad B\rightarrow P(X^{-1}(B)) \]
líkindamál á \((\mathbb R, \mathcal B)\).
Við segjum að líkindamálið \(P_X\) sé líkindadreifingin sem slembistærðin \(X\) ákvarðar.
13.3 Skilgreining
Við segjum að tvær slembistærðir á líkindarúmi \((\Omega, \mathcal F, P)\) séu óháðar ef \(\sigma\)-algebrurnar sem þær framleiða eru óháðar, m.ö.o, ef um öll Borel-mengi B og C í \(\mathbb R\) gildir
\[ P(X^{-1}(B)\cap Y^{-1}(C)) = P(X^{-1}(B))\cdot P(Y^{-1}(C)) \]
13.4 Skilgreining
Látum \((\Omega, \mathcal F)\) vera mælanlegt rúm. Fall \(f:\Omega\rightarrow [0,\infty)\) er sagt einfalt ef það er mælanlegt og tekur aðeins endanlega mörg gildi.
Sérhvert fall \(t\) á \((\Omega, \mathcal F)\) er hægt að setja fram sem
\[ t = \sum_{i=1}^n a_i\mathbf{1}_{A_i} \]
þar sem \(A_i\in\mathcal F\) fyrir öll \(i\). Slík framsetning er kölluð staðlaða framsetningin á \(t\) ef \(a_i\neq a_j\) fyrir \(i\neq j\) og \(t^{-1}(a_i)=A_i\).
13.5 Skilgreining
Látum \(t = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf 1_{A_i}\) vera staðlaða framsetningu einfalds falls \(t\) á málrúmi \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) og \(E \in \mathcal F\). Þá kallast
\[ \int_E td\mu := \sum_{i=1}^n a_i \mu(A_i\cap E) \]
heildi fallsins \(t\) yfir mengið \(E\) m.t.t. málsins \(\mu\).
13.6 Æfing
Línulegar samantektir af einföldum föllum eru einföld föll.
13.7 Setning
Látum \(s\) og \(t\) vera einföld föll á málrúmi \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) og \(c \in [0, \infty)\). Þá gildir um öll \(E \in \mathcal F\):
(i) \(\int_E cs d\mu = c\int_Es d\mu\).
(ii) \(\int_E (s + t) d\mu = \int_E s d\mu + \int_E t d\mu\).
(iii) Ef \(s(x) \leq t(x)\) fyrir öll x úr \(\Omega\), þá er
\[ \int_E s d\mu \leq \int_E t d\mu \]
13.8 Setning
Látum \((\Omega, \mathcal F)\) vera mælanlegt rúm og \(f: \Omega \rightarrow [0, \infty]\) vera mælanlegt fall. Þá er til runa \((s_n)_{n\geq1}\) af einföldum föllum á \(\Omega\) sem fullnægir eftirfarandi skilyrðum.
(i) \(0 \leq s_1 \leq s_2 \leq \dots \leq f.\)
(ii) \(\lim_{n\rightarrow\infty}s_n(x) = f(x)\) fyrir öll \(x \in \Omega\).
13.9 Setning
Látum \(t\geq 0\) vera einfalt fall á málrúmi \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) og skilgreinum fall \(\lambda: \mathcal F \rightarrow [0, \infty]\) með því að setja
\[ \lambda(E) := \int_E t d\mu. \]
Þá er \(\lambda\) mál á \(\mathcal F\).