13 Slembibreytur á líkindarúmum

Mælanlegt fall á líkindarúmi er yfirleitt kallað hending, slembibreyta eða slembistærð.

13.1 Skilgreining

Látum $(\Omega, \mathcal F, P)$ vera líkindarúm, $X: \Omega \rightarrow \mathbb R$ vera slæmbistærð og látum skv. venju $\mathcal B$ tákna Borel-algebruna á $\mathbb R$. Þá er mengjasafnið

$$X^{-1}(\mathcal B) := \{f^{-1}(E) | E \in \mathcal B\}$$

$\sigma$-algebra á $\Omega$ og við segjum að slembistærðin X framleiði hana. Hún verður oftast táknuð $\mathcal F_X$.

13.2 Setning

Látum $X$ vera slembistærð á líkindarúmi $(\Omega, \mathcal F, P)$. Þá er fallið

$$P_X: \mathcal B \rightarrow [0, \infty], \quad B\rightarrow P(X^{-1}(B))$$

líkindamál á $(\mathbb R, \mathcal B)$.

Við segjum að líkindamálið $P_X$ sé líkindadreifingin sem slembistærðin $X$ ákvarðar.

13.3 Skilgreining

Við segjum að tvær slembistærðir á líkindarúmi $(\Omega, \mathcal F, P)$ séu óháðar ef $\sigma$-algebrurnar sem þær framleiða eru óháðar, m.ö.o, ef um öll Borel-mengi B og C í $\mathbb R$ gildir

$$P(X^{-1}(B)\cap Y^{-1}(C)) = P(X^{-1}(B))\cdot P(Y^{-1}(C))$$

13.4 Skilgreining

Látum $(\Omega, \mathcal F)$ vera mælanlegt rúm. Fall $f:\Omega\rightarrow [0,\infty)$ er sagt einfalt ef það er mælanlegt og tekur aðeins endanlega mörg gildi.

Sérhvert fall $t$ á $(\Omega, \mathcal F)$ er hægt að setja fram sem

$$t = \sum_{i=1}^n a_i\mathbf{1}_{A_i}$$

þar sem $A_i\in\mathcal F$ fyrir öll $i$. Slík framsetning er kölluð staðlaða framsetningin á $t$ ef $a_i\neq a_j$ fyrir $i\neq j$ og $t^{-1}(a_i)=A_i$.

13.5 Skilgreining

Látum $t = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf 1_{A_i}$ vera staðlaða framsetningu einfalds falls $t$ á málrúmi $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ og $E \in \mathcal F$. Þá kallast

$$\int_E td\mu := \sum_{i=1}^n a_i \mu(A_i\cap E)$$

heildi fallsins $t$ yfir mengið $E$ m.t.t. málsins $\mu$.

13.6 Æfing

Línulegar samantektir af einföldum föllum eru einföld föll.

---

13.7 Setning

Látum $s$ og $t$ vera einföld föll á málrúmi $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ og $c \in [0, \infty)$. Þá gildir um öll $E \in \mathcal F$:

(i) $\int_E cs d\mu = c\int_Es d\mu$.

(ii) $\int_E (s + t) d\mu = \int_E s d\mu + \int_E t d\mu$.

(iii) Ef $s(x) \leq t(x)$ fyrir öll x úr $\Omega$, þá er

$$\int_E s d\mu \leq \int_E t d\mu$$

13.8 Setning

Látum $(\Omega, \mathcal F)$ vera mælanlegt rúm og $f: \Omega \rightarrow [0, \infty]$ vera mælanlegt fall. Þá er til runa $(s_n)_{n\geq1}$ af einföldum föllum á $\Omega$ sem fullnægir eftirfarandi skilyrðum.

(i) $0 \leq s_1 \leq s_2 \leq \dots \leq f.$

(ii) $\lim_{n\rightarrow\infty}s_n(x) = f(x)$ fyrir öll $x \in \Omega$.

13.9 Setning

Látum $t\geq 0$ vera einfalt fall á málrúmi $(\Omega, \mathcal F, \mu)$ og skilgreinum fall $\lambda: \mathcal F \rightarrow [0, \infty]$ með því að setja

$$\lambda(E) := \int_E t d\mu.$$

Þá er $\lambda$ mál á $\mathcal F$.