16 Lebesgue-heildi og Riemann-heildi

16.1 Dæmi (Varúð!)

\[ f:[0, 1] \rightarrow \mathbb R, \begin{cases} f(x) = 1, x\in\mathbb R\backslash\mathbb Q, \\ 0, x\in\mathbb Q \end{cases} \]

\(\mathbb Q\cap[0,1]\) er núllmengi og einskorðun \(f\) við \([0,1]\backslash[0,1]\cap\mathbb Q\) er fastafallið 1. Hins vegar er fallið ekki Riemann-heildanlegt enda er það ósamfellt í öllum pkt. úr \([0,1]\).

16.2 Setning

Látum \(B\) vera lokaðan (takmarkaðan) kassa í \(\mathbb R^d\). Takmarkað fall \(f:B\rightarrow\mathbb R\) er Riemann-heildanlegt þá og því aðeins að það sé samfelst næstum alls staðar (þ.e.a.s. mengi þeirra punkta þar sem \(f\) er ósamfellt hefur mál núll). Sé svo þá er \(f\) Lebesgue-mælanlegt og Riemann-heildi þess er jafnt Lebesgue-heildinu.

Sönnun. Látum \(f: B\rightarrow \mathbb R\) vera takmarkað fall og \(E\) vera mengi allra ósamfellupunkta þess. Fyrir sérhvert \(m\) látum við \(B = C_1^m\cup\dots\cup C_{l_m}^m\) vera skiptingu á \(B\) þ.a. skipting nr. \(m+1\) sé fínni en skipting nr. \(m\) og þ.a. \(\text{diam}(C_j^m)\leq\frac1m\). Setjum \(M_j^m:=\sup_{x\in C_j^m}f(x)\) og \(m_j^m:= \inf_{x\in C_j^m}\). Setjum svo \(t_n:= \sum_{j=1}^{l_m}M_j^m\mathbf1_{C_j^m}\) og \(s_m := \sum_{j=1}^{l_m}m_j^m\mathbf1_{C_j^m}\). Þá fæst \(s_1\leq s_2\leq \dots\leq f \leq \dots \leq t_2 \leq t_1\). Ljóst er að sérhvert tröppufallá B er Lebesgue-heildanlegt og Riemann-heildi þess er jafnt Lebesgue-heildinu.

Nú er \(f\) takmarkað svo að föllin \(s:=\lim_{m\rightarrow\infty} s_m\) og \(t:=\lim_{m\rightarrow\infty}t_m\) eru í \(\mathcal L^1(B,m)\) og \(\int_B sdm = \lim_{m\rightarrow\infty}\int_B s_mdm\), \(\int_Btdm = \lim_{n\rightarrow\infty}\int_B t_mdm\) skv setn um yfirgnæfða samleitni.

Ennfremur gildir að \(s\leq f\leq t\) og \(t(x) = s(x)\) ef \(\omicron(f,x)=0\).

G.r.f. að \(m(E) = 0\). Þá er \(s(x) = f(x) =t(x)\) f.öll \(x\in B\backslash E\) svo að \(f\) er Lebesgue-mælanlegt skv. setn 11.1.2 vegna þess að \((\mathbb R^d, \mathcal M, m)\) er fullkomið málrúm. Þar eð \(f\) er takmarrkað þá e rþað Lebesgue-heildanlegt og \(\int_B sdm = \int_B fdm = \int_B tdm\), en það hefur í för með sér að \(f\) er Riemann-heildanlegt og jafnframt að \(\int_B fdm\) er Riemann-heildi \(f\) yfir B.
Öfugt. G.r.f. að \(f\) sé Riemann-heildanlegt og sýnum að \(m(E) = 0\). Við getum valið skiptingarnar þannig að \(\int_B sdm = \int_B tdm\) (gildir reyndar sjálfkrafa). Skv. vikublaði 8 gildir að \(E = \{x\in B | \omicron(f,x)>0\}\) og f. sérhv. \(\varepsilon>0\) og \(E_\varepsilon = \{x\in B | \omicron(f,x)\geq \varepsilon\}\) er lokað f.öll \(\varepsilon > 0\). Þar eð \(E = E_1\cup E_{\frac12} \cup\dots\) þá nægir að sýna að \(m(E_{\frac1n}) = 0\) f.öll \(m\in\mathbb N^*\). Látum n vera gefið og tökum \(\varepsilon > 0\). Þá er til \(k\) svo stórt að \(\int_B t_kdm - \int_B s_kdm < \frac\varepsilon m\). Tökum eftir að \(B\backslash\bigcup_{j=1}^{l_k}\text{int}(C_j^k)\) er núllmengi svo að \(m(E_{\frac1m}) = m(E_{\frac1m}\cap(\bigcup_{j=1}^{l_k}\text{int}(C_j^k))\). En fyrir \(x\) úr \(\text{int}(C_j^m)\) gildir að \(t_k(x) - s_k(x) \geq \omicron(f,x)\) svo við fáum:

\[ \frac1m m(E_{\frac1m}) = \int_{E_{\frac1m}}\frac1mdm = \int_{E_{\frac1m} = m(E_{\frac1m}\cap(\bigcup_{j=1}^{l_k}\text{int}(C_j^k)}\frac1mdm \leq \int_{E_{\frac1m} = m(E_{\frac1m}\cap(\bigcup_{j=1}^{l_k}\text{int}(C_j^k)}(t_k - s_k)dm \leq \int_B t_kdm - \int_B s_kdm < \frac\varepsilon m, \text{ og því } \\ m(E_{\frac1m}) < \varepsilon. \]

Þar sem \(\varepsilon > 0\) má vera hversu lítið sem vera skal þá er \(m(E_{\frac1m}) = 0\).

16.3 Setning

Óeiginlegt Riemann-heildi falls, sem tekur gildi sín í \([0,\infty)\), er samleitið ef og aðeins ef fallið er Lebesgue-heildanlegt og í því tilfelli er Lebesgue-heildið markgildi óeiginlega heildisins.

Sönnun. Látum \(A\subseteq\mathbb R^d\) og \(f:A\rightarrow[0,\infty[\). Óeiginlegt Riemann-heildi \(f\) er samleitið ef til er vaxandi runa af Jordan-mælanlegum hlutmengjum (yfirleitt af sérstakri gerð) í A sem uppfylla að \(\bigcup A_m = A\) og \(f|_{A_m}\) er Riemann-heildanlegt og \(\lim \int_{A_m}f < \infty\). Við fáum því

\[ \begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{A_m}f &= \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{A_m}fdm \\ &= \lim\int_{\mathbb R^d}f\cdot\mathbf1_{A_m}dm \\ &= \int_{\mathbb R^d}f\cdot\mathbf1_Adm \\ &= \int_Afdm \end{aligned} \]

Sér í lagi fáum við að samleitni Riemann-heildisins er óháð valinu á rununni \((A_m)_{m\geq1}\)

16.4 Setning

Látum \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb R\) vera samfellt fall. Þá er \(f\) Lebesgue-heildanlegt á \([a,b]\) og fallið

\[ F:[a,b]\rightarrow\mathbb R, \quad x\rightarrow\int_{[a,x]}fdm \]

er diffranlegt og \(F' = f\).

Sönnun.