16 Lebesgue-heildi og Riemann-heildi

16.1 Dæmi (Varúð!)

$$f:[0, 1] \rightarrow \mathbb R, \begin{cases} f(x) = 1, x\in\mathbb R\backslash\mathbb Q, \\ 0, x\in\mathbb Q \end{cases}$$

$\mathbb Q\cap[0,1]$ er núllmengi og einskorðun $f$ við $[0,1]\backslash[0,1]\cap\mathbb Q$ er fastafallið 1. Hins vegar er fallið ekki Riemann-heildanlegt enda er það ósamfellt í öllum pkt. úr $[0,1]$.

16.2 Setning

Látum $B$ vera lokaðan (takmarkaðan) kassa í $\mathbb R^d$. Takmarkað fall $f:B\rightarrow\mathbb R$ er Riemann-heildanlegt þá og því aðeins að það sé samfelst næstum alls staðar (þ.e.a.s. mengi þeirra punkta þar sem $f$ er ósamfellt hefur mál núll). Sé svo þá er $f$ Lebesgue-mælanlegt og Riemann-heildi þess er jafnt Lebesgue-heildinu.

---

Sönnun. Látum $f: B\rightarrow \mathbb R$ vera takmarkað fall og $E$ vera mengi allra ósamfellupunkta þess. Fyrir sérhvert $m$ látum við $B = C_1^m\cup\dots\cup C_{l_m}^m$ vera skiptingu á $B$ þ.a. skipting nr. $m+1$ sé fínni en skipting nr. $m$ og þ.a. $\text{diam}(C_j^m)\leq\frac1m$. Setjum $M_j^m:=\sup_{x\in C_j^m}f(x)$ og $m_j^m:= \inf_{x\in C_j^m}$. Setjum svo $t_n:= \sum_{j=1}^{l_m}M_j^m\mathbf1_{C_j^m}$ og $s_m := \sum_{j=1}^{l_m}m_j^m\mathbf1_{C_j^m}$. Þá fæst $s_1\leq s_2\leq \dots\leq f \leq \dots \leq t_2 \leq t_1$. Ljóst er að sérhvert tröppufallá B er Lebesgue-heildanlegt og Riemann-heildi þess er jafnt Lebesgue-heildinu.

Nú er $f$ takmarkað svo að föllin $s:=\lim_{m\rightarrow\infty} s_m$ og $t:=\lim_{m\rightarrow\infty}t_m$ eru í $\mathcal L^1(B,m)$ og $\int_B sdm = \lim_{m\rightarrow\infty}\int_B s_mdm$, $\int_Btdm = \lim_{n\rightarrow\infty}\int_B t_mdm$ skv setn um yfirgnæfða samleitni.

Ennfremur gildir að $s\leq f\leq t$ og $t(x) = s(x)$ ef $\omicron(f,x)=0$.

• G.r.f. að $m(E) = 0$. Þá er $s(x) = f(x) =t(x)$ f.öll $x\in B\backslash E$ svo að $f$ er Lebesgue-mælanlegt skv. setn 11.1.2 vegna þess að $(\mathbb R^d, \mathcal M, m)$ er fullkomið málrúm. Þar eð $f$ er takmarrkað þá e rþað Lebesgue-heildanlegt og $\int_B sdm = \int_B fdm = \int_B tdm$, en það hefur í för með sér að $f$ er Riemann-heildanlegt og jafnframt að $\int_B fdm$ er Riemann-heildi $f$ yfir B.

• Öfugt. G.r.f. að $f$ sé Riemann-heildanlegt og sýnum að $m(E) = 0$. Við getum valið skiptingarnar þannig að $\int_B sdm = \int_B tdm$ (gildir reyndar sjálfkrafa). Skv. vikublaði 8 gildir að $E = \{x\in B | \omicron(f,x)>0\}$ og f. sérhv. $\varepsilon>0$ og $E_\varepsilon = \{x\in B | \omicron(f,x)\geq \varepsilon\}$ er lokað f.öll $\varepsilon > 0$. Þar eð $E = E_1\cup E_{\frac12} \cup\dots$ þá nægir að sýna að $m(E_{\frac1n}) = 0$ f.öll $m\in\mathbb N^*$. Látum n vera gefið og tökum $\varepsilon > 0$. Þá er til $k$ svo stórt að $\int_B t_kdm - \int_B s_kdm < \frac\varepsilon m$. Tökum eftir að $B\backslash\bigcup_{j=1}^{l_k}\text{int}(C_j^k)$ er núllmengi svo að $m(E_{\frac1m}) = m(E_{\frac1m}\cap(\bigcup_{j=1}^{l_k}\text{int}(C_j^k))$. En fyrir $x$ úr $\text{int}(C_j^m)$ gildir að $t_k(x) - s_k(x) \geq \omicron(f,x)$ svo við fáum:

$$\frac1m m(E_{\frac1m}) = \int_{E_{\frac1m}}\frac1mdm = \int_{E_{\frac1m} = m(E_{\frac1m}\cap(\bigcup_{j=1}^{l_k}\text{int}(C_j^k)}\frac1mdm \leq \int_{E_{\frac1m} = m(E_{\frac1m}\cap(\bigcup_{j=1}^{l_k}\text{int}(C_j^k)}(t_k - s_k)dm \leq \int_B t_kdm - \int_B s_kdm < \frac\varepsilon m, \text{ og því } \\ m(E_{\frac1m}) < \varepsilon.$$

Þar sem $\varepsilon > 0$ má vera hversu lítið sem vera skal þá er $m(E_{\frac1m}) = 0$.

---

16.3 Setning

Óeiginlegt Riemann-heildi falls, sem tekur gildi sín í $[0,\infty)$, er samleitið ef og aðeins ef fallið er Lebesgue-heildanlegt og í því tilfelli er Lebesgue-heildið markgildi óeiginlega heildisins.

---

Sönnun. Látum $A\subseteq\mathbb R^d$ og $f:A\rightarrow[0,\infty[$. Óeiginlegt Riemann-heildi $f$ er samleitið ef til er vaxandi runa af Jordan-mælanlegum hlutmengjum (yfirleitt af sérstakri gerð) í A sem uppfylla að $\bigcup A_m = A$ og $f|_{A_m}$ er Riemann-heildanlegt og $\lim \int_{A_m}f < \infty$. Við fáum því

$$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{A_m}f &= \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{A_m}fdm \\ &= \lim\int_{\mathbb R^d}f\cdot\mathbf1_{A_m}dm \\ &= \int_{\mathbb R^d}f\cdot\mathbf1_Adm \\ &= \int_Afdm \end{aligned}$$

Sér í lagi fáum við að samleitni Riemann-heildisins er óháð valinu á rununni $(A_m)_{m\geq1}$

---

16.4 Setning

Látum $f:[a,b]\rightarrow\mathbb R$ vera samfellt fall. Þá er $f$ Lebesgue-heildanlegt á $[a,b]$ og fallið

$$F:[a,b]\rightarrow\mathbb R, \quad x\rightarrow\int_{[a,x]}fdm$$

er diffranlegt og $F' = f$.

---

Sönnun.

---