2.9 Poissonova regresija

• Ako je zavisna varijabla diskretna, npr. Poissonova, tada je ocčekivana vrijednost takve varijable jednaka parametru \(\lambda\). Takvih sredina ima \(n\):

\[\begin{align} g\bigg( \underbrace {E(y_i)}_{\text{očekivana} \\ \text{vrijednost}}\bigg) &= \underbrace {\beta_0+\beta_1 x_i+\beta_2 z_i+...}_{\text{linearni prediktor}}+\varepsilon_i \\ g(\lambda_i) &= \beta_0+\beta_1 x_i+\beta_2 z_i+...+\varepsilon_i \\ log(\lambda_i)&= \beta_0+\beta_1 x_i+\beta_2 z_i+...+\varepsilon_i \end{align}\]

• Potrebna je vezna funkcija za preslikavanje iz intervala (\(-\infty,~+\infty\)) u interval (\(0,~+\infty\)). Takva vezna funkcija \(g(\cdot)\) je recipročna odnosno inverzna funkcija. Takva vezna funkcija \(g(\cdot)\) je prirodni logaritam (Poissonova regresija je specijalni slučaj tzv. log-linearnog modela).

• Dosad navedene distribucije dolaze iz klase eksponencijalnih distribucija te omogućuju da se na prikladan način modificira generalizirani linearni model

• Treba imati na umu da su kod nekih distribucija sredina i varijance nezavisne, primjerice varijanca normalne distribucije ne ovisi o sredini, dok varijance Binomne, Poissonove i Gamma distribucije ovise o njihovim sredinama

• Kada varijanca distribucije ovisi o njenoj sredini parametri GLM modela se procjenjuju metodom maksimalne vjerodstojnosti u iteracijama