1.11 Izvori varijabilnosti ponovljenih mjerenja

  • Analiza varijance s ponovljenim mjerenjima zahtjeva dekompoziciju ukupne varijabilnosti \(SST\) na varijabilnost između subjekata \(SSBS\) (Summ of Squares Between Subjects) i unutar subjekata \(SSWS\) (Summ of Squares Within Subjects)

  • Kod analize varijance bez ponavljanja varijabilnost unutar grupa \(SSW\) ujedno predočuje i komponentu pogreške ili ostatka (\(SSW=SSE\)). Međutim, ako je riječ o ponovljenim mjerenjima, ostatak varijbilnosti \(SSE\) je manji od varijabilnosti unutar subjekata \(SSWS\) jer je njegov sastavni dio

  • Varijabilnost unutar subjekata \(SSWS\) reducira se za varijabilnost između ponavljanja ili grupa \(SSBG\) (Sum of Sqaures Between Groups). Prema tome vrijedi:

\[\begin{align} SST&=SSBS+\underbrace{SSBG+SSE}_{SSWS} \\ SST&=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^k (y_{ij}-\overline{y})^2 \\ SSBS&=k \sum_{i=1}^n (\overline{y}_i-\overline{y})^2 \\ SSWS&=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^k (y_{ij}-\overline{y}_i)^2 \\ SSBG&=n\sum_{j=1}^k (\overline{y}_j-\overline{y})^2\\ SSE&=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^k (y_{ij}-\overline{y}_i-\overline{y}_j+\overline{y})^2 \end{align}\]

Tablica 1.5: Analiza varijance s ponovljenim mjerenjima
Izvor varijabilnosti Zbrojevi kvadrata Stupnjevi slobode Sredine kvadrata F-omjer
Between subjects \(SSBS\) \(n-1\) \(SSBS/(n-1)\) \(F_1=MSBS/MSE\)
Between groups (repeated measurements) \(SSBG\) \(k-1\) \(SSBG/(k-1)\) \(F_2=MSBG/MSE\)
Ostatak (pogreška) \(SSE\) \((n-1)(k-1)\) \(SSE/(n-1)(k-1)\)
Total \(SST\) \(nk-1\)
  • Intuitivno je razvidno da se mogu testirati dva skupa hipoteza:
  1. Prvim skupom hipoteza testira se razlika aritmetičkih sredina između subjekata
  2. Drugim skupom hipoteza testira se razlika aritmetičkih sredina između grupa (efekt ponavljanja)
  • Drugi \(F\)-omjer je od posebnog interesa za analizu varijance s ponovljenim mjerenjima

  • ANOVA s ponovljenim mjerenjima je specijalni slučaj dvofaktorske ANOVA bez ponavljanja sa slučajnim blok dizajnom