3.2 Extensiones

3.2.1 Superposición

Ejemplo 3.3 Consideremos una autovía que tiene dos puntos de acceso A y B y sólo uno C de salida. Asumimos que los coches acceden a la autovía por el punto A según un PP con tasa de 8 vehículos por minuto, y también los que acceden por el punto B según un PP con tasa de 6 vehículos por minuto. Queremos estudiar cómo se producen las salidas de la autovía.

Definición 3.3 Sean \(\{N_t; t \geq 0\}\) y \(\{M_t; t \geq 0\}\) dos PP independientes con tasas \(\lambda_1\) y \(\lambda_2\) respectivamente. Entonces el proceso \(\{Y_t = N_t + M_t, t \geq 0\}\) es un PP con tasa \(\lambda_1 + \lambda_2\), que se obtiene de la superposición de los dos PP.

La solución al Ejemplo 3.3 para el proceso de salidas de la autovía viene dada por la superposición de los dos procesos de entradas, \(C=A+B\), de modo que responderá a un PP de tasa \(14=8+6\).

3.2.2 Adelgazamiento con mixtura

Ejemplo 3.4 Consideramos el tráfico que llega a una bifurcación, que sigue un PP con una tasa de 2 coches por minuto. Además, hay un 30% de posibilidades de que los coches giren a la izquierda y un 70% de que giren a la derecha. Queremos estudiar el proceso que describe el número de coches que giran a la izquierda y de los que giran a la derecha.

Definición 3.4 Sea \(\{N_t; t \geq 0\}\) un PP con tasa \(\lambda\) y sea \(\{X1,X2,...\}\) una secuencia de variables aleatorias iid Bernoulli \(Ber(p)\), independientes del proceso de Poisson. Sea \(M = \{M_t ;t \geq 0 \}\) un nuevo proceso que registra las llegadas de \(\{N_t; t \geq 0\}\) con probabilidad \(p\), esto es, si \(X_n=1\) la llegada n-ésima se registra, y si \(X_n=0\) no se registra. Entonces el proceso \(\{M_t; t \geq 0\}\) resultante, que supone un “adelgazamiento” o encogimiento del proceso original \(N_t\), es un PP con tasa \(\lambda p\).

Aplicando este resultado al Ejemplo 3.4, y suponiendo que todos los coches actúan de forma independiente, el flujo de giros por la bifurcación de la izquierda forma un PP con una tasa de \(0.6=0.3\cdot 2\) por minuto, y el flujo de giros por la bifurcación de la derecha forma un PP con una tasa de \(1.4=0.7\cdot 2\) coches por minuto.

3.2.3 Composición

En un PP los eventos o llegadas suceden de uno en uno. En otras ocasiones, las llegadas o eventos se producen por lotes y los tamaños de los lotes forman una secuencia de variables aleatorias positivas independientes e idénticamente distribuidas. Un ejemplo lo tenemos en la llegada de clientes a un restaurante, que se realiza normalmente en grupos de tamaño variable. Si definimos por \(N_t\) el número total de llegadas en el periodo \((0,t]\), este no se puede modelizar como un PP, pero sí como un “PP compuesto.”

Ejemplo 3.5 Consideramos la llegada de pasajeros a una estación de tren. Los pasajeros llegan a la estación de tren en coche. Los coches llegan a la estación según un PP de media 5 coches por hora, \(N_t \sim Po(5)\), donde \(N_t\) representa el número de coches que han llegado en \((0,t]\).

Por otro lado, en cada coche pueden llegar 1, 2 o hasta 3 pasajeros. El número de pasajeros que llegan en el n-ésimo coche se denota con la v.a. \(X_n\), donde \(P(X_n = 1) = 0.5\), \(P(X_n = 2) = 0.3\), y \(P(X_n = 3) = 0.2\) para cualquier \(n>0\).

Estamos interesados en saber cuántos pasajeros en total llegan a la estación en coche.

Definición 3.5 Sea \(\{N_t; t \geq 0\}\) un PP de tasa \(\lambda\), que representa el proceso de llegada por lotes a un sistema, y sea \(\{X_1, X_2,...\}\) una secuencia de variables aleatorias i.i.d., y también independientes de \(N_t\), tales que \(X_n\) representa el tamaño del lote que llega en n-ésimo lugar. El proceso \(\{Y_t; t \geq 0\}\) que acumula el número total de llegadas en \((0,t]\) y viene definido por la suma de las llegadas en los \(N_t\) lotes que han llegado en dicho periodo, esto es,

\[\begin{equation} Y_t = \sum_{k=1}^{N_t} X_k, \qquad N_t=1,2,...; \quad t\geq 0 \tag{3.1} \end{equation}\]

se denomina Proceso de Poisson compuesto (PPC).

La respuesta a la cuestión planteada en el Ejemplo 3.5 se obtiene de plantear que el número total de pasajeros que llegan a la estación, denotado por \(\{Y_t; t > 0 \}\) será un PP compuesto, definido por: \[Y_t=\sum_{i=1}^{N_t} X_i.\] :::

Sea \(\{Y_t; t \geq 0\}\) un PPC expresado según la Ecuación (3.1), que proviene de un PP de llegadas/eventos que se producen en lotes, \(\{N_t; t \geq 0\}\) de tasa \(\lambda\) y se conforma a partir de la suma de las v.a. \(\{X_i, i=1,...,N_t\}\) independientes de \(N_t\), que representan el tamaño de los lotes, y que se distribuyen iid con media \(\mu=E(X_i)\) y varianza \(\sigma^2=Var(X_i)\). Entonces la esperanza y varianza del número total de llegadas/eventos (totales) para cada valor de \(t \geq 0\) se obtiene como:

\[E(Y_t) = \mu \lambda t\] \[V(Y_t) = (\sigma^2+\mu^2) \lambda t\] La varianza de \(Y_t\) se obtiene pues, del momento de orden 2 de \(X_n\), \(E(X_n^2)=Var(X_n)+E(X_n)^2\).

Continuando con el Ejemplo 3.5), calculemos el número esperado de pasajeros (y su error) que llegarán a la estación en un periodo de 8 horas. Para ello habremos de calcular en primer lugar la media y varianza del número de viajeros por coche (tamaño del lote):

p=c(0.5,0.2,0.3)
x=c(1,2,3)
# valor esperado
mu=as.numeric(p%*%x);mu

## [1] 1.8

# momento de orden 2
m2=as.numeric(p%*%(x^2));m2

## [1] 4

Así, el número medio de pasajeros por coche será 1.8 y 4 su momento de orden 2. El número (total) esperado de pasajeros en 8 horas lo calcularemos multiplicando por la tasa de llegadas de coches, \(\lambda\):

lambda=5
t=8
# valor esperado
ey=lambda*mu*t
# varianza
vy=m2*lambda*t
cat("E(Y_8)=",ey,", V(Y_8)=",vy)

## E(Y_8)= 72 , V(Y_8)= 160

Por lo tanto, esperamos que lleguen a la estación en 8 horas alrededor de 72 pasajeros, con un error de 12.65.

3.2.4 PP no estacionarios

Muchos procesos físicos que a primera vista parecen candidatos a ser modelados como un proceso de Poisson, fallan debido a la suposición de estacionariedad. Por ejemplo, consideremos el análisis de tráfico: estamos interesados en modelar los tiempos de llegada de los coches a una intersección. En la mayoría de los lugares es poco probable que la tasa media de llegada de coches a las 2p.m. sea la misma que a las 2a.m., lo que significa que el proceso no es estacionario y, por lo tanto, el supuesto de estacionariedad exigido a los procesos de PP no se cumple.

Definición 3.6 Sea \(\{N_t; t \geq 0\}\) un proceso estocástico de parámetro contínuo con \(N_0 = 0\). Si asumimos que existe un función continua \(m()\) definida con la integral de la tasa del proceso \(\lambda()\),

\[m(t) = \int_0^t \lambda(s)ds, \quad \text{ para } t \geq 0\]

entonces el proceso \(N_t\) se dice que es un PP no estacionario si:

1. \(P(N_t = k) = e^{-m(t)}(m(t)^k)/k!\) para \(k, t \geq 0\),
2. El evento \(\{N_{s+u} - N_s = i\}\) es independiente del evento \(\{N_t = j\}\) si \(t<s\).

Estos procesos se denominan también PP no homogéneos.

Ejemplo 3.6 Un banco ha decidido aumentar la capacidad de su ventanilla, y desea modelar dicho proceso. Un primer paso en la modelización de la ventanilla es analizar el proceso de llegada. Las ventanillas abren a las 7:30 de la mañana durante los días laborables. Se ha determinado que el proceso de llegada es un PP no estacionario en el que la tasa media de llegadas aumenta lentamente de forma lineal de 10 clientes por hora a 12 durante los primeros 60 minutos. Así, tenemos una función de tasa definida (en horas como unidad de tiempo) por:

\[\lambda(t) = 10 + 2t, t \in [0,1]\]

La integral de la tasa del proceso \(\lambda(t)\) es:

\[m(t) = \int_0^t (10+2s)ds = 10t + t^2, \quad \text{ para } t \leq 1.\]

De esta forma el número esperado de llegadas al banco desde las 8.00 a las 8.30 (dado que abre a las 7:30) viene dado por:

\[E(N_1 - N_{0.5}) = m(1) - m(0.5)\]

m=function(t){10*t+t^2}
m(1)-m(0.5)

## [1] 5.75

y es de 5.75.