4.5 Otros tipos de sistemas

Presentamos en este punto otros sistemas que no se corresponden con procesos de nacimeinto y muerte, pero que son muy habituales en el mundo real.

4.5.1 Gestión de inventarios

Una tienda minorista gestiona el inventario de un tipo de producto, que denominamos \(P\), de la forma siguiente. Cuando el número de elementos de \(P\) disminuye a un número fijo \(l\), se hace un pedido al fabricante de \(m\) repuestos de \(P\). El pedido tarda un tiempo aleatorio en ser entregado al minorista. Si el inventario es como máximo \(l\) cuando se entrega un pedido (incluido el pedido recién entregado), se realiza inmediatamente otro pedido de \(m\) artículos. Supongamos que que los plazos de entrega son variables aleatorias iid \(Exp(\lambda)\) y que la demanda se produce según un \(PP(\mu)\). Las demandas que no pueden ser satisfechas inmediatamente se pierden.

Sea \(X(t)\) el número de elementos de \(P\) en stock en el momento \(t\). Obsérvese que el número máximo de elemntos de \(P\) en stock es \(K = l + m\), lo que ocurre si el pedido se entrega antes de que se produzca la siguiente demanda. El espacio de estados es, pues, \(S = \{0, 1, 2,...,K\}\). En el estado \(0\), las demandas se pierden, y el stock salta a \(m\) cuando se entrega el pedido pendiente actual (lo que ocurre a la tasa \(\lambda\)). Por tanto, tenemos \(r_{0m} = \lambda\). En el estado \(i\) \((1 \leq i \leq l)\) hay un pedido pendiente. El estado cambia a \(i-1\) si se produce una demanda (lo que ocurre a la tasa \(\mu\)) y a \(i + m\) si se entrega el pedido. Por lo tanto, tenemos \(r_{i i+m} = \lambda\) y \(r_{i i-1} = \mu\). Finalmente, si \(X(t) = i\) (\(l + 1 \leq i \ K\)), no hay pedidos pendientes, y la única transición es de \(i\) a \(i- 1\), y eso ocurre cuando se produce una demanda. Por lo tanto, \(r_{i i-1} = \mu\). El proceso \(X(t), t \geq 0\) definidido de esta forma es una CMTC.

Consulta sobre modelo simmer para inventarios (https://stackoverflow.com/questions/51680140/immediate-inventory-restock-in-r-simmer)

4.5.2 Proceso de fabricación

Un proceso de de fabricación sencilla consiste en una sola máquina que puede estar encendida o apagada. Si la máquina está encendida, produce artículos según un proceso de Poisson con tasa \(\lambda\). La demanda de artículos llega según un \(PP(\mu)\) La máquina se controla de la siguiente manera. Si el número de artículos en stock alcanza un número máximo \(K\) (la capacidad de almacenamiento), la máquina se apaga. La máquina se enciende cuando el número de artículos en stock disminuye hasta un nivel preestablecido \(l < K\). Si la variable aleatoria \(X(t)\) nos indica el número de artículos en stock en el momento \(t\), el proceso \(X(t), t \geq 0\) no es una CMTC ya que no sabemos si la máquina está encendida o apagada si \(l < X(t) < K\). Si se considera \(Y(t)\) como el estado en el que se encuentra la máquina en el momento \(t\), de forma que un \(1\) indica encendido y un \(0\) que está apagada, entonces el proceso \(\{X(t), Y(t), t\geq 0\}\) es una CMTC con espacio de estados:

\[S = \{(i, 1), 0 \leq i < K\} \cup \{(i, 0), l < i \leq K\}\]

Hay que tener en cuenta que la máquina siempre está encendida si el número de elementos es \(l\) o menos. Por lo tanto, no necesitamos los estados \(\{(i, 0), 0 \leq i \leq l\}\). El análisis habitual de los eventos desencadenantes arroja las siguientes tasas de transición:

\[r_{(i, 1)(i+1, 1)} = \lambda, \quad 0 \leq i < K-1,\]

\[r_{(K-1, 1)(K, 0)} = \lambda, \] \[r_{(i, 1)(i-1, 1)} = \mu, \quad 1\leq i\leq K-1,\]

\[r_{(i, 0)(i-1, 0)} = \mu, \quad l+1 < i\leq K,\]

\[r_{(l+1, 0)(l, 1)} = \mu.\]