5.2 Formulas de Little

En los modelos con distribución del tiempo entre llegadas y distribución del servicio exponencial (así como en muchos otros modelos más generales llamados ergódicos) se verifican ciertas fórmulas que relacionan los números medios de clientes, en el sistema o en la cola, con los tiempos medios de un clientes en el sistema o en la cola. Estas son las llamadas fórmulas de Little.

Cuando las tasas de llegada son constantes (es decir \(\lambda_n = \lambda\) para $n = 0, 1,… $), la primera fórmula de Little establece la igualdad:

\[L = \lambda W,\] mientras que la segunda se expresa mediante

\[L_q = \lambda W_q.\] Una forma intuitiva de entender el porqué de la validez de las fórmulas de Little es la siguiente. Considérese un cliente que llega al sistema justo ahora. Después de un tiempo, cuya media es \(W\) , ese cliente saldrá servido del sistema. Como el número medio de clientes que llegan al sistema por unidad de tiempo es , el número medio de clientes que habrán llegado desde que nuestro cliente en cuestión entró en el sistema hasta que salió de él es \(W\). Por otra parte, es obvio que dicho número medio de clientes es precisamente el número medio de clientes que hay en el sistema justo en el momento que sale del sistema nuestro cliente particular, es decir, \(L\). Un razonamiento análogo es válido para la segunda fórmula de Little.

Obviamente, las fórmulas de Little no pueden ser válidas si las \(\lambda_n\) no son constantes pero sí pueden generalizarse a esa situación mediante:

\[L = \bar{\lambda}W\] \[L_q = \bar{\lambda}W_q\]

con

\[\bar{\lambda} = \sum_{n = 0}^{\infty} \lambda_np_n\] Otra relación importante (en este caso para relacionar \(W\) y \(W_q\)) es la dada por:

\[W = W_q + \frac{1}{\mu}\] Su deducción es inmediata pues viene a decir que el tiempo medio que un cliente está en el sistema (\(W\)) coincide con la suma del tiempo medio en la cola (\(W_q\)) más el tiempo medio que tarda en ser servido (\(1/\mu\), ya que \(\mu\) es el número medio de clientes que un servidor puede atender por unidad de tiempo).