1.9 Ejercicios

1.9.1 Básicos

Ejercicio B1.1. Un proceso de fabricación tiene una tasa de defectos del 20% y los artículos se colocan en cajas de cinco. Un inspector toma muestras de dos artículos de cada caja. Si uno o los dos artículos seleccionados son defectuosos, la caja se rechaza. Si un cliente pide 10 cajas, ¿cuál es el número esperado de artículos defectuosos que recibirá el cliente? Da una aproximación del error y una banda de confianza.

Ejercicio B1.2. Un vendedor a domicilio vende ollas y sartenes. Sólo entra en el 50% de las casas que visita. De las casas en las que entra, 1/6 de los propietarios no están interesados en comprar nada, 1/2 de ellos acaban haciendo un pedido de 60 dólares, y 1/3 de ellos acaban haciendo un pedido de 100 dólares. Estima el promedio de ventas (en dólares) conseguidas para 25 visitas (junto con una medida del error). Estima el promedio de ventas por visita.

Ejercicio B1.3. Un contratista de techos independiente ha determinado que el número de trabajos que se solicitan para el mes de septiembre es bastante variable. A partir de la experiencia anterior, las probabilidades de obtener 0, 1, 2 o 3 trabajos se han determinado como 0.1, 0.35, 0.30 y 0.25, respectivamente. El beneficio obtenido por cada trabajo es de 300 dólares. ¿Cuál es el beneficio esperado para el mes de septiembre?

Ejercicio B1.4. Un sistema de visión está diseñado para medir el ángulo en el que el brazo de un robot se desvía de la vertical. Sin embargo, el sistema de visión no es totalmente preciso, y el resultado de las observaciones es una variable aleatoria con una distribución uniforme. Si la medición indica que el rango del ángulo está entre 9.7 y 10.5 grados, aproxima por simulación la probabilidad de que el ángulo real esté entre 9.9 y 10.1 grados y da una medida del error de dicha aproximación.

Ejercicio B1.5. En una operación de soldadura automatizada, la posición en la que se coloca la soldadura es muy importante. La desviación del centro de la placa es una variable aleatoria normal con una media de 0 pulgadas y una desviación estándar de 0.01 pulgadas. Una desviación positiva indica una desviación a la derecha del centro y una desviación negativa indica una desviación a la izquierda del centro.

¿Cuál es la probabilidad de que en una placa dada, la ubicación real de la soldadura se desvíe menos de 0.005 pulgadas (en valor absoluto) del centro?
¿Cuál es la probabilidad de que en una placa dada, la ubicación real de la soldadura se desvíe más de 0.02 pulgadas (en valor absoluto) del centro?

Da aproximaciones del error cometido al aproximar por simulación.

Ejercicio B1.6. Un departamento de compras percibe que el 75% de sus pedidos especiales se reciben a tiempo. De los pedidos que se reciben a tiempo, el 80% cumple totalmente las especificaciones; de los pedidos que llegan con retraso, el 60% cumple con las especificaciones. Responde a las siguientes preguntas utilizando simulación, dando también una medida del error.

¿Cuál es la probabilidad de que un pedido llegue a tiempo y cumpla con las especificaciones?
¿Cuál es la probabilidad de que un pedido cumpla con las especificaciones?
Si se han recibido cuatro pedidos, ¿cuál es la probabilidad de que los cuatro pedidos cumplan con las especificaciones?

Ejercicio B1.7. Una empresa manufacturera tiene tres operarios para una máquina que produce cierto tipo de componentes. El operario A tiene una tasa de defectos del 5%, el operario B del 3%, y el operario C del 2%. Los tres operarios producen el mismo número de componentes. Si un componente elegido al azar resulta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el componente haya sido producido por A, B, o C? Responde a la pregunta con simulación y da una medida del error de la aproximación.

Ejercicio B1.8. El 1% de los préstamos que hace cierta empresa financiera no son saldados (es decir, la cantidad prestada no le es devuelta en su totalidad). La compañía efectúa un estudio rutinario de las posibilidades crediticias de los solicitantes. Encuentra que el 30% de los préstamos no saldados se hicieron a clientes de alto riesgo, el 40% a clientes de riesgo moderado y el restante 30% a clientes de bajo riesgo. De los préstamos que fueron saldados, el 10% se hicieron a clientes de alto riesgo, el 40% a clientes de riesgo moderado y el 50% a clientes de bajo riesgo. Responde a las siguientes preguntas utilizando simulación, dando también una medida del error.

¿Cuál es la probabilidad de que un préstamo de alto riesgo no sea saldado?
¿Cuál es la probabilidad de que una deuda no saldada, dado que el riesgo es moderado?

Ejercicio B1.9. Se hacen dos inversiones de 10000€ cada una en dos proyectos. Se supone que el proyecto A va a producir un rendimiento neto de 800, 1000 y 1200 euros con probabilidades respectivas de 0.2, 0.6, 0.2. Se supone que el proyecto B va a producir una ganancia neta de 800, 1000, y 1200 euros, con probabilidades respectivas 0.3, 0.4, 0.3. Si asumimos que lo que se gana con un proyecto es independiente de lo que se gana con el otro, responde a las siguientes preguntas utilizando simulación, dando también una medida del error.

¿Cuál es la probabilidad de que la ganancia total sea de 2000 euros exactamente?
¿Cuál es la probabilidad de que la ganancia total sea igual o superior a 2000 euros?
¿Cuál es la probabilidad de que la ganancia sea inferior a 2000 euros?

Ejercicio B1.10. Sea \(X\) una variable aleatoria de tipo continuo cuya función de densidad viene dada por: \[\begin{equation*} f(x) = \frac{5}{3}(1-x^3)x \text{ para } 0 \leq x \leq 1 \end{equation*}\]

Utilizando simulación:

Determina la \(Pr(X \leq 0.5).\)
Determina la \(Pr(0.25 \leq X \leq 0.75).\)
Determina la \(Pr(X > 1/3).\)

Ejercicio B1.11. Sea \(X\) una variable aleatoria de tipo continuo cuya función de densidad viene dada por:

\[\begin{equation*} f(x) = \frac{1}{8}x \text{ para } 0 \leq x \leq 4 \end{equation*}\]

Utilizando simulación:

Determina el valor de \(t\) tal que \(Pr(X \leq t) = 0.25\)
Determina el valor de \(t\) tal que \(Pr(X \leq t) = 0.5\)

Ejercicio B1.12. Sea \(X\) una variable aleatoria de tipo continuo cuya función de densidad viene dada por:

\[\begin{equation*} f(x) = e^{-x} \text{ para } x > 0 \end{equation*}\]

Utilizando simulación:

Determina el valor esperado y la desviación típica de la variable \(Y = X^{1/2}.\)
Determina \(Pr(Y \geq 1).\)

Ejercicio B1.13. Los administradores de cierta industria han probado, por pruebas técnicas, que su producto tiene una vida media de 5 años, y la han descrito con una distribución exponencial. Si el tiempo de garantía asignado por los administradores es de 1 año, ¿qué porcentaje de sus productos será devuelto para reparar durante el periodo de garantía? Aproxima por simulación y da una medida del error.

1.9.2 Avanzados

Ejercicio A1.1.

Los problemas de inventario tratan de dar respuesta a las necesidades de almacenamiento de las empresas para satisfacer la demanda de los consumidores. En concreto, en este caso se plantea el problema de un distribuidor del mercado central especializado en la venta de fresas. Dicho comerciante compra cajas al precio de 20€, y las vende por 50€, y tiene dos problemas relacionados directamente con lo que denominamos “inventario”:

Si los clientes solicitan más cajas de las disponibles el comerciante pierde 30€ por cada caja de menos disponible.
Si el comerciante almacena más cajas de las solicitadas por los clientes, el producto se debe tirar y pierde 20€ por cada caja que no vende.

Para tratar de determinar el número de cajas que debe comprar y almacenar, recoge información sobre la demanda realizada por los clientes en la campaña anterior, cuyos datos vienen dados en la tabla siguiente:

Cajas Vendidas	10	11	12	13
Número de días	15	20	40	25

La empresa proporciona en la tabla siguiente las ganancias esperadas diarias (en euros) asociadas al número de cajas vendidas y las cajas que debería almacenar:

Demanda	10	11	12	13
Almacenar 10	300	300	300	300
Almacenar 11	280	330	330	330

En base a esta información se debe obtener la ganancia esperada para cada acción de inventario, y determinar aquella que proporcione mayores beneficios, es decir, las mayores ganancias diarias. ¿Qué recomendación se debería hacer al distribuidor?

Por otro lado, los asesores convencen al distribuidor de que para tener mayor certeza de sus ganancias debería realizar un estudio marginal, que se basa en el hecho de que cuando se compra una unidad adicional de un artículo (en este caso una caja) pueden ocurrir dos cosas: la unidad se vende o no se vende. De esta forma:

¿Cuál es la probabilidad de que la demanda sea al menos de 11 cajas? ¿Y de al menos 12? ¿Y de al menos 13?
¿Cuál resulta la ganancia y pérdida marginal esperada por la venta o no de una caja más con cada una de las probabilidades anteriores?
¿Qué opción recomiendas al distribuidor?