4.9 Análisis de costes

En este punto vemos como podemos introducir costes en las CMTC y los procedimientos numéricos necesarios para su análisis. En todo el punto consideramos \(\{X(t), t \geq 0\}\) una CMTC con espacio de estados \(S = \{1, 2,...,N\}\) y matriz de tasas \(R\). Además, siempre que la CMTC está en el estado \(i\) se incurre en una tasa de coste \(c(i), 1 \leq i \leq N\).

4.9.1 Coste total esperado a tiempo \(T\)

En esta subsección, estudiamos el CTE, el coste total esperado hasta un tiempo finito \(T\), llamado horizonte. Nótese que la tasa de coste en el tiempo \(t\) es \(c(X(t))\). Por lo tanto, el coste total hasta el tiempo \(T\) viene dado por:

\[\int_0^T c(X(t))dt.\]

De esta forma el coste esprado total hasta el instante \(T\), empezando en el estado \(i\), viene dado por:

\[g(i, T) = E\left( \int_0^T c(X(t))dt \mid X(0) = i \right), \quad 1 \leq i \leq N.\] ::: {.theorem}

Si \(M(T) = [m_{ij}(T)]\) es la matriz de ocupación entonces:

\[g(T) = M(T)c,\]

donde \(c = [c(1), c(2),...,c(N-1), c(N)]'\) y \(g(T) = [g(1, T), g(2,T),..., g(N-1, T), g(N, T)]'.\) :::

Ejemplo 4.7 Para el sistema de mantenimiento de máquinas se conoce que que el beneficio por cada hora que la máquina está funcionanado es de 50 euros, mientras que el coste de que la máquina este apagada es de 15 euros por hora, al que hay que sumar 10 euros por cada hora de reparación. Estamos interesados en conocer el coste-beneficio de un periodo de 24 horas si al finalizar todas las máquinas están funcionando. Si \(X(t)\) es el número de máquinas funcionando en el instante \(t\), el espacio de estados para 4 máquinas viene dado por \(S = \{0, 1, 2, 3, 4\}\) y el vector de costes es:

\[ \begin{matrix} c(0) = & 0*50 - 4*15 - 2*10 = - 80,\\ c(1) = & 1*50 - 3*15 - 2*10 = - 15,\\ c(2) = & 2*50 - 2*15 - 2*10 = 50,\\ c(3) = & 3*50 - 1*15 - 1*10 = 125,\\ c(4) = & 4*50 - 0*15 - 0*10 = 200. \end{matrix} \] El vector de costes para el periodo de 24 horas viene dado por:

\[ g(24) = M(24)*c = \begin{bmatrix} 3844.69 \\ 4116.57 \\ 4327.23 \\ 4474.96 \\ 4621.05 \end{bmatrix} \]

de forma que la cantidad de interés, \(g(4, 24)\) que corresponde con el elemento \((5,1)\) de la matriz, establece un beneficio de 4621.05 euros. Veamos como obtener esta cantidad utilizando el código correspondiente.

# Matriz de tasas
nestados <- 5
R <- matrix(nrow = nestados, ncol = nestados, data = 0)
lambda <- 1/2
mu <- 1/72 

R[1,2] <- 2*lambda 
R[2,1] <- mu 
R[2,3] <- 2*lambda 
R[3,2] <- 2*mu 
R[3,4] <- 2*lambda 
R[4,3] <- 3*mu 
R[4,5] <- lambda
R[5,4] <- 4*mu
# Matriz de ocupación
mmat <- tiempos.ocupacion(R, 24, 1)
# Vector de costes
costes <- matrix(c(-80, -15, 50, 125, 200), ncol = 1)
# Matriz de beneficios
beneficios <- mmat%*%costes
beneficios

##          [,1]
## [1,] 3844.694
## [2,] 4116.585
## [3,] 4327.238
## [4,] 4474.971
## [5,] 4621.058

El beneficio es 4621.058 euros.

4.9.2 Tasas de coste a largo plazo

Para el sistema de vida de una máquina, supongamos que se da el coste \(C\) del tiempo de inactividad. Queremos saber a cuánto debe ser la tasa de ingresos durante el tiempo de actividad para que sea económicamente rentable operar la máquina. Si nos guiamos por el coste total, la respuesta dependerá de del horizonte de planificación \(T\) y también del estado inicial de la máquina. Una alternativa es calcular los ingresos netos a largo plazo por unidad de tiempo para esta máquina e insistir en que sea positivo para la rentabilidad. Esta respuesta no dependerá de \(T\), y, como veremos ni siquiera del estado inicial de la máquina. Por lo tanto, el cálculo de estos índices de costes o ingresos a largo plazo es muy útil. En esta subsección mostraremos cómo calcular estas cantidades.

Teorema 4.8 Sea \(\{X(t), t \ geq 0\}\) una CMTC irreducible con estados \(\{1, 2,...,N\}\), distribución límite \(p = [p_1, p_2,...,p_N]\) y vector de costes \(c = [c_1, c_2,..., c_N]\), entonces la tasa de coste a largo plazo viene dada por:

\[g(i) = \sum_{j = 1}^N p_jc(j), \quad 1 \leq i \leq N\]

Ejemplo 4.8 Si consideramos el sistema de vida de una máquina supongamos que el coste por unidad de tiempo de que la máquina este apagado es \(C\). ¿Cuál es el la tasa mínima de ingresos \(I\) necesaria durante el tiempo de actividad para alcanzar el punto de equilibrio a largo plazo?

Utilizando las tasas definidas anteriormente (\(\lambda = 1, \mu = 0.1\)), la distribución límite del sistema \(p = [0.0909, 0.9091]\), y el vector de costes \(c =[-C, I]\) para el espacio de estados \(S = \{0, 1\}\), la tasa de coste a largo plazo por unidad de tiempo viene dada por la expresión:

\[ g = 0.9091*I - 0.0909*C\] de forma que para mantener el sistema en equilibrio, \(g \geq 0\), se debe cumplir que:

\[I \geq \frac{0.0909}{0.9091}*C = 0.099989*C \approx 0.1*C\]

Así, los ingresos por unidad de tiempo superiores a 0.1 veces por el coste de que la máquina este parada por unidad de tiempo resulta rentable. Si la empresa ha establecido un ingreso por hora de 50 euros, cuando sabe que el coste por hora es de 10 euros cuando está apagada, se desea saber si se cumple la condición de equilibrio para los costes.

Ejemplo 4.9 Consideramos el sistema de la central telefónica donde la capacidad máxima de la centralita es de seis llamadas. Las llamadas llegan según un \(PP\) con una tasa de 4/minuto, y la duración media de cada llamada exponencial de media 2 minutos. En primer lugar deseamos conocer le beneficio por unidad de tiempo si la facturación por minuto de cada llamada es de 10 céntimos. En segundo lugar deseamos estimar la pérdida que sufrimos por todas las llamadas que no pueden ser atendidas. Consideramos como \(X(t)\) al número de llamadas que están siendo atendidas en el instante \(t\).

En primer lugar calculamos la distribución límite del proceso. Dado que se trata de un proceso de nacimeinto y muerte utilizamos la función correspondiente.

# Matriz de tasas
nestados <- 7
lambdas <- rep(4, 6) 
mus <- (1:6)/2
# Probabilidades del sistema
probs <- distr.lim.nm(nestados, lambdas, mus)

Establecemos los beneficios \(c(i) = 10i\) y calculamos el global por unidad de tiempo

# vector de beneficios
beneficio <- 10*(0:6) 
# beneficio por unidad de tiempo
sum(beneficio*probs)

## [1] 48.81985

El beneficio por unidad de tiempo es de 48.82 céntimos. Si no rechazaramos ninguna llamada tendríasmo que el beneficio por minuto sería de 80 céntimos, que se corresponde con la tasa de 4 llamadas por minuto, el beneficio de 10 céntimos por minuto, y que a duración de las llamadas es de 2 minutos. Esto supone que la pérdida por minuto debido a las lamadas rechazadas se puede estimar como \(80 - 48.82 = 31.18\) céntimos por minuto.