2.6 Ejercicios

2.6.1 Básicos

Ejercicio B2.1. Para el proceso Meteorologia se desea conocer cuál es el tiempo estimado para tener un día lluvioso si hoy tenemos un día soleado.

Ejercicio B2.2. Para el proceso Mercado de valores se desea conocer cuál es el tiempo estimado en conseguir que las acciones alcancen los valores \(8, 9, 10\) partiendo de un valor inicial de \(5\).

Ejercicio B2.3. Consideramos el proceso Mercado de valores. Supongamos que el gerente financiero ha comprado 100 acciones a 5 dólares, y está interesado en conocer cuál es el beneficio neto esperado de su inversión en 5 días.

Ejercicio B2.4. En una boutique de café se cambian semanalmente los escaparates, promocionando tres tipos de café A, B y C en función de la demanda que registran. Según ello, la promoción de los tres tipos cambia de una semana a otra de acuerdo a la siguiente matriz de transición:

\[P = \begin{pmatrix} 0.1 & 0.3 & 0.4\\ 0.1 & 0.5 & 0.4\\ 0.3 & 0.2 & 0.5\\ \end{pmatrix}\]

Si en la semana 1 se expone el tipo A en el escaparate, ¿cuál es la probabilidad de que en la semana 10 se esté promocionando cualquiera de las tres marcas?

Ejercicio B2.5. Consideramos el proceso descrito en la sección Telecomunicaciones. Asumimos que en el estado inicial el buffer está lleno y deseamos conocer el número esperado de paquetes en el buffer en los instantes \(n =1, 2, 5\) y \(10\), asumiendo que el tamaño del buffer es 10 y que el número de paquetes que llegan en un instante es una variable aleatoria \(Bi(5, 0.2).\)

Ejercicio B2.6. Consideramos el proceso descrito en la sección Planificación de mano de obra. Supongamos que la empresa tiene 100 empleados en la semana 1, distribuidos como sigue: 50 en el nivel 1, 25 en el grado 2, 15 en el grado 3, y 10 en el grado 4. Si cada empleado tiene un comportamiento independiente respecto del resto ¿cuál es el número esperado de empleados en cada grado al principio de la semana 4?

Ejercicio B2.7. Consideramos el proceso descrito en la sección Problema de inventario. Estamos interesados en conocer cuál es la proporción de semanas en que el inventario estará lleno durante el proximo año, si empezamos con un inventario de 5 PCs?

Ejercicio B2.8. La secuencia de consonantes y vocales en el lenguaje humano se puede modelizar mediante una \(CMTD\) dado que después de una vocal siempre le sigue una consonante con probabilidad 0.49 y una vocal con probabilidad 0.51. Después de una consonante hay otra consonante con probabilidad 0.1. Codificamos un texto completo con una secuencia de ceros (vocal) y unos (consonantes). Obtén la matriz de transición para este proceso. Si el texto comienza con una consonante, ¿qué tipo de elemento será el que aparezca en la quinta posición de la secuencia? ¿Qué porcentaje de vocales y consonantes encontraremos en un texto de 2000 letras?

Ejercicio B2.9 Considera el proceso descrito en la sección Fiabilidad de máquinas, con dos máquinas. Supón que ambas máquinas están operativas al principio del día 0. Calcula la probabilidad de que el número de máquinas operativas al principio de los próximos tres días sea 2, 1 y 2, en ese orden.

Ejercicio B2.10. Calcula la matriz de ocupación \(M(10)\), la distribución límite y la estacionaria, para un proceso CMTD con matriz de transición dada por: \[P=\begin{pmatrix} 0.1 & 0.3 & 0.2 & 0.4 \\ 0.1 & 0.3 & 0.4 & 0.2 \\ 0.3 & 0.1 & 0.1 & 0.5 \\ 0.15 & 0.25 & 0.35 & 0.25 \end{pmatrix}\]

2.6.2 Avanzados

Ejercicio A2.1. Los artículos llegan a un taller mecánico de forma determinista a un ritmo de uno por minuto. Cada artículo se comprueba antes de cargarlo en la máquina. Un artículo es adecuado con probabilidad \(p\) y defectuoso con una probabilidad \(1-p\). Si un artículo es defectuoso, se descarta; en caso contrario, se carga en la máquina. La máquina tarda exactamente 1 minuto en procesar el artículo, tras lo cual está lista para procesar el siguiente. Consideramos la variable aleatoria \(X_n\) que toma el valor \(0\) si la máquina está inactiva al principio del n-ésimo minuto y 1 si está iniciando el proceso.

Obtén la matriz de transición de este proceso.
Si \(p = 0.98\), ¿cuál es la proporción de tiempo en que la máquina está cargando un artículo durante las próximas ocho horas?
¿Cuántas horas tendrán que pasar para que la máquina descarte un artículo cuando el primero no se descarta?

Supongamos ahora que la máquina puede procesar dos artículos simultáneamente. Sin embargo, tarda 2 minutos en completar el procesamiento. Delante de la máquina hay un contenedor en el que se pueden almacenar dos artículos no defectuosos. En cuanto hay dos artículos en la bandeja, se cargan en la máquina y ésta empieza a procesarlos.

Obtén la matriz de transición de este proceso.
¿Cuál es la proporción de tiempo en que la máquina carga artículos durante las próximas ocho horas?
¿Cuántas horas tendrán que pasar para que la máquina descarte dos artículos cuando los dos primeros no son defectuosos?

Ejercicio A2.2. Un vendedor vive en la ciudad “a” y es responsable de la venta de su producto en las ciudades “a,” “b” y ‘c.’ Cada semana tiene que visitar una ciudad diferente. Cuando está en su ciudad natal, le da igual la ciudad que visite a continuación, así que lanza una moneda y si sale cara va a “b” y si sale cruz va a “c.” Sin embargo, después de pasar una semana fuera de casa tiene una ligera preferencia por volver a casa, así que cuando está en las ciudades ‘b’ o ‘c’ lanza dos monedas. Si salen dos caras, se va a la otra ciudad; de lo contrario va a ‘a.’ Las sucesivas ciudades que visita forman una cadena de Markov con un espacio de estados \(S = \{a, b, c\}\) en la que la variable aleatoria \(X_n\) es igual a ‘a,’ ‘b’ o ‘c’ según su ubicación durante la semana \(n\). Obtén la matriz de transición de este proceso.

Empezando en su ciudad natal, ¿en qué ciudad se encontrará dentro de seis semanas?
¿Cuál es la proporción de tiempo en que el vendedor se encontrará fuera de casa durante los próximos seis meses?
Si inicialmente está en la ciudad ‘a,’ ¿cuántas semanas tendrán que pasar para que visite la ciudad ‘c?’
Si el vendedor obtiene un beneficio de 1200 euros cuando pasa una semana en la ciudad ‘a,’ de 1200 euros cuando está en ‘b,’ y de 1250 cuando está en ‘c,’ ¿cuál será el beneficio esperado después de 12 semanas si comienza en su ciudad natal?
¿Cuál será el beneficio esperado después de 12 semanas si desconocemos la ciudad de partida pero sabemos que hay una probabilidad de 0.5 que sea ‘a,’ 0.3 de que sea ‘b,’ y 0.2 de que sea ‘c?’

Ejercicio A2.3. Se lleva a cabo un análisis de mercado para conocer las preferencias de compras de coches en formato “renting,” según el cual cada año se renueva el coche a cada cliente del servicio en el mes de enero. La empresa está interesada en conocer si los clientes cambian el estilo de vehículo entre las tres opciones posibles (“sedan,” “station wagon,” y “convertible”) de un año al siguiente. Para estudiar este proceso se toman los datos de cambio de vehículo del último mes de enero:

Número ventas	Cambio
275	sedan for sedan
180	sedan for station wagon
45	sedan for convertible
80	station wagon for sedan
120	station wagon for station wagon
150	convertible for sedan
50	convertible for convertible

Este sistema se puede modelizar según una \(CMTD\) con espacio de estados \(S = \{s, w, c\}\).

Obtén la matriz de transición asociada a este proceso.
¿Cuál es la probabilidad de que un cliente mantenga el mismo tipo de vehículo dentro de tres años? ¿y de cinco?
¿Cuál es el tiempo esperado de permanencia con el mismo tipo de vehículo en los próximos 10 años?
¿Cuál es el tiempo esperado hasta el primer cambio para cualquiera de los tipos considerados?
Si un “sedan” proporciona un beneficio anual de 1200 euros, el “station wagon” de 1500, y el “convertible” de 2500 euros, ¿cuál es el beneficio promedio esperado para un año? ¿y para 5 años?

Ejercicio A2.4. Un proceso de fabricación consiste en dos etapas consecutivas mediante el esquema siguiente:

En la etapa 1, el 20% de las piezas son devueltas para su reelaboración, el 10% son desechadas, y el 70% restante pasan a la etapa 2.
En la etapa 2, el 5% de las piezas deben ser devueltas a la etapa 1, el 10% deben ser reelaboradas, el 5% son desechadas, y el 80% restantes se consideran adecuadas para la venta.

Considerando todos los estados del proceso (e1 = etapa 1; e2 = etapa 2; d = desechado; v = venta) construye la matriz de transición correspondiente a este proceso.

La estructura de costes del proceso viene dada por:

El coste del material que va a entrar entra en la etapa 1 es de 150 euros.
Cada parte que es procesada en la etapa 1 incurre en un coste de 200 euros.
Cada parte que es procesada en la etapa 2 incurre en un coste de 300 euros.
Cada parte que no es rechazada en el etapa 1 pero si es rechazada en l etapa 2 incurre en un coste de 850 euros.
El material que es desechado debe someterse a un proceso de eliminación especial con u coste de 50 euros por parte.

El sistema es capaz de tratar suficiente material para generar 100 partes al cabo de un día (aptas para la venta o desechadas).

Plantea un algoritmo de simulación que permita responder a cuál es el coste medio del proceso de fabricación para los próximos 15 días. ¿Y la variabilidad estimada de dicho coste?
Si la empresa quiere asegurar un beneficio neto del 5%, ¿a qué precio debe vender las piezas aptas para asegurar dicho beneficio de acuerdo al coste medio estimado del proceso? ¿Cuál sería el rango de venta teniendo en cuenta las fluctuaciones del coste medio?

Ejercicio A2.5. Se lanza un misil al que se le envía una secuencia de señales de corrección de rumbo cuando es necesario. Supongamos que el sistema tiene cuatro estados que se etiquetan como sigue:

Estado 0: en rumbo, sin necesidad de correcciones.
Estado 1: correcciones mínimas.
Estado 2: correcciones mayores.
Estado 3: desviación no controlable que hace necesaria la autodestrucción del mísil.

Sea \(X_n\) que representa el estado del sistema después de la n-ésima corrección, de forma que si el mísil está en curso en el instante \(n\) se mantendrá en curso durante todo el vuelo; si necesita una corrección mímima, entonces con probabilidad 0.5 no será necesaria ninguna corrección posterior, con probabilidad 0.25 será necesaria una nueva corrección menor, y con probabilidad 0.25 será necesaria una corrección mayor. Si en el instante \(n\) necesitamos una corrección mayor, con probabilidad 0.5 necesitaremos una corrección menor a continuación, con probabilidad 0.25 necesitaremos otra corrección mayor, y con probabilidad 0.25 deberemos abortar la misión.

¿Cuál es la matriz de transición para este proceso?
Si un mísil necesita una corrección menor al inicio del lanzamiento, ¿cuál será su situación después de 3 correcciones?

El mísil gasta 50000 libras de combustible en el lanzamiento, 1000 libras cuando una corrección menor es necesaria, y 5000 cuando una corrección mayor es necesaria. Simula el proceso para tratar de responder a estas preguntas:

¿Cuál será el consumo medio de combustible después de 4 correcciones?
¿Y si lanzamos 6 cohetes a la vez?

Ejercicio A2.6. Al comienzo de cada semana, el estado de una máquina se determina midiendo la cantidad de corriente eléctrica que utiliza. En función de su lectura de amperaje, la máquina se clasifica en uno de los cuatro estados siguientes: bajo, medio, alto, fallido. Una máquina en estado bajo tiene una probabilidad de 0.05, 0.03 y 0.02 de estar en el estado medio, alto o fallido, respectivamente, al comienzo de la siguiente semana. Una máquina en estado medio tiene una probabilidad de 0.09 y 0.06 de estar en estado alta o fallida, respectivamente, al inicio de la siguiente semana; no puede, por sí sola, pasar al estado bajo. Una máquina en estado alto tiene una probabilidad de 0.1 de estar en el estado fallido al comienzo de la siguiente semana; no puede, por sí misma, pasar al estado bajo o medio. Si una máquina se encuentra en estado de fallo al comienzo de la semana, se inicia inmediatamente la reparación de la máquina para que (con probabilidad 1) esté en el estado bajo al comienzo de la semana siguiente.

Modeliza este proceso como una \(CMTD\) y obtén la correspondiente matriz de transición.
Si una máquina nueva siempre comienza en el estado bajo, ¿cuál es la probabilidad de que la máquina esté en estado de fallo tras tres semanas?
¿Cuál es la probabilidad de que una máquina nueva tenga al menos un fallo dentro de tres semanas?
En promedio, ¿cuántas semanas al año estará trabajando la máquina?

Cada semana que la máquina está en estado bajo, se obtiene un beneficio de 1.000 dólares; cada semana que la máquina está en el estado medio, se obtiene un beneficio de 500 dólares; cada semana que la máquina está en estado alto, se obtiene un beneficio de 400 dólares; y la semana en la que se fija un fallo, se incurre en un coste de 700 dólares.

¿Cuál es el beneficio semanal a medio a largo plazo obtenido por la máquina?

Se ha sugerido cambiar la política de mantenimiento de la máquina. Si al comienzo de una semana la máquina está en el estado alto, la máquina se deja fuera de servicio y es reparada para que al inicio de la siguiente semana vuelva a estar en el estado bajo. Cuando se realiza una reparación se incurre en un coste de 600 euros.

¿Merece la pena esta nueva política de mantenimiento?

Ejercicio A2.7. Nos interesa el traslado de planta de los pacientes dentro de un hospital. A efectos de nuestro análisis, consideraremos que el hospital tiene tres tipos diferentes de plantas: habitaciones de “cuidados generales,” habitaciones de “cuidados especiales” y “cuidados intensivos.” Basándonos en datos anteriores, el 60% de los pacientes que llegan, ingresan inicialmente en la categoría de “cuidados generales,” el 30% en la de “cuidados especiales” y el 10% en la de “cuidados intensivos.” Un paciente de “cuidados generales” tiene un 55% de posibilidades de ser dado de alta sano al día siguiente, un 30% de permanecer en la planta de “cuidados generales,” y un 15% de ser trasladado a la planta de “cuidados especiales.” Un paciente de “cuidados especiales” tiene un 10% de posibilidades de ser dado de alta al día siguiente, un 20% de ser trasladado a “cuidados generales,” un 15% de pasar a “cuidados intensivos.” Un paciente de “cuidados intensivos” nunca es dado de alta, hasta que muestra mejoría. Las probabilidades de que el paciente sea trasladado a “cuidados generales,” “cuidados especiales” o que permanezca en “cuidados intensivos” son del 5%, el 30% o el 55%, respectivamente.

Modeliza este sistema como una \(CMTD\) y obtén la correspondiente matriz de transición.
¿Cuál es la probabilidad de que un paciente ingresado en la sala de cuidados intensivos salga sano del hospital?
¿Cuál es el número esperado de días que un paciente, ingresado en cuidados intensivos pasará en la UCI?
¿Cuál es la duración prevista de la estancia de un paciente ingresado en el hospital como paciente de cuidados generales?
Durante un día normal, ingresan en el hospital 100 pacientes. ¿Cuál es el número medio de pacientes en la UCI?

Ejercicio A2.8. La fabricación de un determinado tipo de placa electrónica consta de cuatro pasos: preparación, montaje, inserción y soldadura. Después de la etapa de montaje, el 5% de las piezas deben ser retiradas; después de la etapa de inserción, el 20% de las piezas son retiradas; y después de la etapa de soldadura, el 30% de las piezas deben ser devueltas a la inserción y el 10% debe desecharse. Suponemos que cuando una pieza se devuelve a una etapa de procesamiento, es tratada como cualquier otra pieza que entra en esa etapa.

Modeliza este sistema como una \(CMTD\) y obtén la correspondiente matriz de transición.
Si un lote de 100 placas comienza este proceso de fabricación, ¿cuántas se espera que acaben desechadas?
¿Con cuántas placas deberíamos empezar si el objetivo es que el número esperado de placas que terminen siendo aceptadas sea igual a 100?
¿Con cuántas placas deberíamos empezar si queremos estar seguros al 90% de que terminamos con un lote de 100 placas?

Cada vez que una placa pasa por una etapa de procesamiento, los costes directos de mano de obra y material son de 10 euros para la preparación, 15 euros para el montaje, 25 euros para la inserción y 20 euros para la soldadura. La materia prima cuesta 8 euros, y una placa desechada devuelve 2 euros. La tasa media de gastos generales es de 1.000.000 de euros al año, lo que incluye valores de recuperación de capital. El ritmo de procesamiento medio es de 5.000 placas por semana.

Queremos fijar un precio por placa para que los ingresos previstos sean un 25% superiores a los costes previstos. ¿En qué valor debemos fijar el precio?

Ejercicio A2.9. Dentro de un área de mercado determinada hay dos marcas de jabón que la mayoría de la gente utiliza, el “superjabón” y el “jabón barato,” y el mercado actual se divide por igual entre las dos marcas. Una empresa está pensando en introducir una tercera marca llamada “jabón extra limpio,” y ha realizado algunos estudios iniciales sobre las condiciones del mercado. Sus estimaciones de las pautas de compra semanales son las siguientes: si un cliente compra superjabón esta semana, hay un 75% de posibilidades de que la próxima semana vuelva a comprarlo, un 10% de probabilidad de que use el jabón extra limpio y un 15% de probabilidad de que use el jabón barato. Si un cliente compra el jabón extra limpio esta semana, hay un 50% de probabilidades de que cambie, y si lo hace, siempre será al superjabón. Si un cliente compra jabón barato esta semana, es igual de probable que la próxima semana el cliente compre cualquiera de las tres marcas.

Asumiendo que se cumplen las condiciones de Markov, ¿cuál es la mariz de transición para este proceso?
¿Cuál es la cuota de mercado a largo plazo del nuevo jabón?
¿Cuál será la cuota de mercado del nuevo jabón dos semanas después de su introducción?

El mercado consta de aproximadamente un millón de clientes cada semana. Cada compra de superjabón produce un beneficio de 15 céntimos; una compra de jabón barato produce un beneficio de 10 céntimos; y una compra del extra limpio produce un beneficio de 25 céntimos. Supongamos que el mercado se encuentra en estado estacionario con la misma distribución entre los dos productos ya comercializados. La campaña publicitaria inicial para introducir la nueva marca fue de 100.000 dólares.

¿Cuántas semanas pasarán hasta que se recuperen los 100.000 dólares de los ingresos añadidos del nuevo producto?
La empresa considera que con estas tres marcas, una campaña publicitaria de 30.000 dólares por semana aumentará el mercado total semanal en un cuarto de millón de clientes? ¿Merece la pena la campaña? (Utiliza un criterio de media a largo plazo).

Ejercicio A2.10. Considera una \(CMTD\) con espacio de estados \(S=\{a, b, c\}\) y con matriz de transición:

\[P = \begin{pmatrix} 0.3 & 0.5 & 0.2\\ 0.1 & 0.2 & 0.7\\ 0.8 & 0.0 & 0.2\\ \end{pmatrix}\]

Cada visita al ‘estado a’ produce un beneficio de 5 dólares, cada visita al ‘estado b’ produce un beneficio de 10 dólares, y cada visita al ‘estado c’ produce un beneficio de 12 dólares.

Escribir un algoritmo que simule la cadena de Markov para poder estimar el beneficio esperado por paso, asumiendo que la cadena siempre comienza en el ‘estado a.’
Realizar 10 repeticiones del proceso con 25 pasos en cada una y obtener el valor medio del beneficio y rango para las 10 réplicas.
Realizar 10 repeticiones con 1000 pasos en cada una y obtener el valor medio del beneficio y rango para las 10 réplicas.
Comparar las estimaciones y los rangos de los dos escenarios propuestos.