4.8 Comportamiento límite del proceso

En el análisis del comportamiento límite de una CMTD analizamos la distribución de probabilidad límite, la distribución estacionaria, y la distribución de los tiempos de ocupación. En el caso de las CMTC estudiaremos cantidades similares. En primer lugar analizaremos las probabilidades límite:

\[\lim_{t \rightarrow \infty} P(X(t) = j, \quad 1 \leq j \leq N\]

Si existen dichos límites el conjunto \(p = [p_1, p_2,...,p_N]\) se conoce como distribución límite de la CMTC.

Teorema 4.5 Una CMTC \(\{X(t), t \geq 0\}\) irreducible con matriz de tasas \(R\) tiene una única distribución límite \(p = [p_1, p_2,...,p_N]\), que se puede obtener como solución de las ecuaciones de balance:

\[p_j r_j = \sum_{i=1}^N p_ir_{ij}, \quad 1 \leq j \leq N\] \[\sum_{i=1}^N p_i = 1\]

En este sentido podemos interpretar \(p_jr_j\) como la tasa de la CMTC cuanod deja el estado \(j\), mientras que \(p_jr_{ij}\) es la tasa de entrada de la CMTC a estado \(j\) desde el estado \(i\).

Teorema 4.6 Dado una CMTC \(\{X(t), t \geq 0\}\) irreducible con distribución límite \(p\), entonces la distribución estacionaria de la CMTC viene dada por \(p\), es decir:

\[P(X(0) = j) = p_j \text{ para } 1 \leq j leq N\] \(P(X(t) = j) = p_j \text{ para } 1 \leq j leq N, t \geq 0\)$

A partir de la distribución límite resulta posible obtener la distribución de ocupación de la CMTC.

Teorema 4.7 Sea \(m_{ij}(T)\) el tiempo total esperado que la cadena permanece en el estado hata el tiempo \(T\) para una CMTC irreducible que comienza en el estado \(i\). Entonces:

\[\lim_{T \rightarrow \infty} \frac{m_{ij}(T)}{T} = p_j\]

A continuación se presenta la solución de la distrbución límite para los procesos de nacimiento y muerte. En el resto de sistemas se deberan plantear las ecuaciones de balance y resorverlas. En ambas situaciones presentamos las correspondientes funciones que nos permiten obtener las cantidades de interés.

Sea \(\{X(t), t \geq 0\}\) un proceso de nacimiento y muerte con espacio de estados \(S = \{0, 1,...,K\}\), y tasas de nacimiento \(\{\lambda_i, 0 \leq i < K\}\) y tasas de muerte \(\{\mu_i, 1 \leq i \leq K\}\). Entonces la CMTC así definida es irreducible y tiene una única distribuión límite con:

\[p_i = \frac{\rho_i}{\sum_{j = 0}^K \rho_j}, \quad 0 \leq i \leq K,\] donde \(\rho_0 = 1,\) y

\[\rho_i = \frac{\prod_{j=0}^{i-1}\lambda_j}{\prod_{j=1}^{i}\mu_j}, \quad 1 \leq i \leq K,\]

Antes de comenzar con los ejemplos vamos a crear una función que permita obtener la distibución límite y la distribución de ocupación para los procesos de nacimiento y muerte.

# Obtención de distribuciones límite 
distr.lim.nm <- function(estados, lambdas, mus)
{
  # Parámetros de la función
  # ========================
  # estados: número de estados del sistema
  # lambdas: vector de tasas de nacimiento
  # mus: vector de tasas de muerte
  
  # definimos vector de rho
  rhos <- rep(1, estados)
  # calculamos productos acumlados para lambda y mu
  prl <- cumprod(lambdas)
  prm <- cumprod(mus)
  # rellenamos rho con los productos acumulados
  rhos[2:estados] <- prl/prm
  # suma de rhos
  sumarhos <- sum(rhos)
  # vector de probabilidades
  ps <- rhos/sumarhos
  return(ps)
}

Ejemplo 4.5 Retomamdo el sistema descrito en el ejemplo ??, supongamos que el tiempo esperado hasta que falla una máquina son 10 días, mientras que el tiempo esperado de reparación es de 1 día. Si la máquina funciona el primer día de enero ¿cuál es la distribución límite del proceso?

Este sistema es un proceso de nacimiento y muerte donde podemos aplicar la función anterior para obtener la distribución límite con dos estados y tasas \(\lambda = 1\), \(\mu = 1/10\) (expresadas en periodos de diez días).

probs <- distr.lim.nm(2, 1, 0.1)
probs

## [1] 0.09090909 0.90909091

El comportamiento límite nos indica que la máquina está el 90.9% del tiempo en funcionamiento, mientras que sólo el 9.1% en reparación. Para un periodo de un año tendríamos que los díass esperados de reparación y funcionamiento son:

365*probs

## [1]  33.18182 331.81818

Veamos ahora como obtener la distribución límite para procesos más generales. Definimos una función que nos permite obtener la distribución límite de un CMTC a partir de cualquier matriz de tasas resolviendo las ecuaciones de balance.

# Función para la resolución numérica de las ecuaciones de balance
distr.lim.general<-function(Rmat)
{
  # Parámetros de la función
  #=========================
  # Rmat: matriz de tasas del sistema
  
  # número de estados del sistema
  estados <- nrow(Rmat)
  # Calculamos r_i y lo colocamos en formato matriz
  sumarows <- diag(apply(Rmat, 1, sum), estados)
  # Matriz de coeficientes del sistema de ecauciones de balance
  A <- t(R)-sumarows
  # Completamos la matriz añadiendo la restricción de suma de p`s iagual a 1
  A <- rbind(A, rep(1, estados))
  # Vector de términos independientes del sistema
  CS <- c(rep(0, estados), 1)
  # Resolcuión del sistema
  ps <- qr.solve(A, CS)
  return(ps)
}

Ejemplo 4.6 Para el sistema de proceso de fabricación se está interesado en conocer cuando la máquina estará parada a largo plazo. Dado que el espacio de estados es \(S = \{1, 2,...,6\}.\) la máquina está aprada cuando nos encontramos en los estados \(5 = (4, 0)\) y \(6 = (3, 0)\). A partir de la información del sistema podemos obtener la distribución límite del proceso, pero en este caso como no se trata de un proceso de nacimiento y muerte debemos plantear las ecuaciones de balance, a partir de la matriz de tasas, y resolver el sistema numéricamente.

Resolvemos las ecuaciones de balance para el sistema del proceso de fabricación. Definimos la matriz de tasas y ejecutamos la función anterior para obtener las probabilidades límite del proceso:

# Estados del sistema
nestados <- 6
# Matriz de tasas
lambda <- 6
mu <- 5
R <- matrix(nrow = nestados, ncol = nestados, data = 0)
R[1,2] <- lambda 
R[2,1] <- mu
R[2,3] <- lambda 
R[3,2] <- mu
R[3,4] <- lambda
R[4,3] <- mu
R[4,5] <- lambda
R[5,6] <- mu
R[6,3] <- mu
# Resolución  de las ecuaciones de balance
ps <- distr.lim.general(R)
ps

## [1] 0.1584649 0.1901579 0.2281895 0.1244670 0.1493604 0.1493604

La probabilidad de interés viene dada por 0.2987, de forma que la máquina permancerá apagada sobre el 30% del tiempo.

Para practicar este apartado puedes resolver los ejercicios B-9 a B-12 de la colección al final de la unidad.