4.1 Evolución del proceso

Sea \(X(t)\) el estado de un sistema en el tiempo \(t\) . Supongamos que el espacio de estados del proceso estocástico \(\{X_t; t \geq 0\}\) es \(\{1, 2,...,N\}\). La evolución aleatoria del sistema se produce de la siguiente manera:

  • Supongamos que el sistema comienza en el estado \(i\) y permanece allí durante un tiempo \(Exp(r_i)\) que denominamos tiempo de permanencia en el estado \(i\), e \(r_i\) es la tasa media de permanencia. (Recordemos que en la distribución exponencial las tasas medias son el recíproco de los tiempos medios.)

  • Al final del tiempo de permanencia en el estado \(i\), el sistema realiza una transición repentina al estado \(j\) con probabilidad \(p_{ij}\), independientemente del tiempo que el sistema haya estado en el estado \(i\). Una vez en el estado \(j\), permanece allí durante un tiempo \(Exp(r_j)\).

  • A continuación, pasa a un nuevo estado \(k\) con una probabilidad \(p_{jk}\), independientemente de la historia del sistema hasta el momento. Y continúa de esta manera hasta que finaliza el tiempo de observación del proceso.

Conviene hacer tres observaciones con respecto al funcionaminto del sistema. En primer lugar, las probabilidades de salto \(p_{ij}\) no deben deben confundirse con las probabilidades de transición \(p_{ij}(t)\). En este caso, \(p_{ij}\) actúa como la probabilidad de que el sistema pase al estado \(j\) cuando sale del estado \(i\). En segundo lugar, \(p_{ii} = 0\), dado que por definición el tiempo de permanencia en el estado \(i\) es el tiempo que el sistema pasa en el estado \(i\) hasta que sale de él. Por lo tanto, no se permite una transición de \(i\) a \(i\). En tercer lugar, en caso de que el estado \(i\) sea absorbente (es decir el sistema permanece en el estado i para siempre una vez que llega a él), fijamos \(r_i = 0\).

Como en el caso de la matriz de transición podemos obtner la matriz de probabildiades de salto, \(P\) como:

\[P = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} & ... & p_{1N}\\ p_{21} & p_{22} & ... & p_{2N}\\ ... & ... & ... & ...\\ p_{N1} & p_{N2} & ... & p_{NN} \end{pmatrix}\]

Teorema 4.1 El proceso estocástico \(\{X_t; t \geq 0\}\) con parámetros \(r_i\), \(1 \leq i \leq N\), y probabilidades \(p_{ij}\), \(1 \leq i,j \leq N\) descrito anteriormente es una CMTC.

A continuación presentamos un par de ejemplos:

::: {.example #excmtc001 name = “Sistema vida útil satélite”}

Supongamos que la vida útil de un satélite de gran altitud es una variable aleatoria exponencial de tasa \(\mu\) (\(Exp(\mu)\)), en meses, de forma que una vez que falla, sigue fallando para siempre, ya que no es posible repararlo. Consideramos el proceso \(X_t = 1\) si el satélite está operativo en el momento \(t\) y 0 en caso contrario. En esta situación \(r_0 = 0\) y \(r_1 = \mu\) pero desconcemos los valores de \(P\), aunque resulta posible obtener la matriz de transición sin más que obtener las probabilidades \(p_{00}(t)\) y \(p_{11}(t)\) que vienen dadas por:

\[p_{00}(t) = P(\text{satélite no está operativo en t} \mid \text{satélite no está operativo en 0}) = 1\]

\[p_{11}(t) = P(\text{satélite está operativo en t} \mid \text{satélite está operativo en 0}) = P(T >t) = e^{-\mu t}\]

La matriz de transición viene dada por:

\[P(t) = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1- e^{-\mu t} & e^{-\mu t} \end{pmatrix}\]

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::: {.example #excmtc002 name = “Sistema del viajante”}

Un vendedor vive en la ciudad A y es responsable de las ciudades A, B y C. El tiempo que pasa en cada ciudad es aleatorio. Tras un estudio, se ha determinado que la cantidad de tiempo consecutivo que pasa en una ciudad cualquiera sigue una variable aleatoria con distribución exponencial, cuya media de tiempo de estancia depende de la ciudad. En su ciudad natal pasa un tiempo medio de dos semanas, en la ciudad B pasa un tiempo medio de una semana, y en la ciudad C pasa un tiempo medio de una y media. Cuando sale de la ciudad A, lanza una moneda para determinar a qué ciudad va a continuación; cuando sale de la ciudad B o C, lanza dos monedas de manera que hay un 75% de posibilidades de volver a A y un 25% de posibilidades de ir a la otra ciudad. Sea \(X_t\) una variable aleatoria que denota la ciudad en la que se encuentra el vendedor en el momento \(t\), de forma que toma el valor 0 si está en A, el valor 1 si está en B, y 2 si está en C.

El proceso \(\{X_t; t \geq 0\}\) con espacio de estados \(\{0, 1, 2\}\) es una CMTC con:

  • tasas de permanecia (en semanas): \(r_0 = 1/2, r_1 = 1/1, r_2 = 1/1.5 = 2/3\) , y
  • matriz de saltos

\[P = \begin{pmatrix} 0 & 0.5 & 0.5\\ 0.75 & 0 & 0.25\\ 0.75 & 0.25 & 0 \end{pmatrix}\]

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