4.11 Ejercicios

Los ejercicios que se presentan a continuación se estruturan en dos niveles de dificultad. El primer nivel son ejercicios más básicos (codificados con una B), y que son parte de los ejmplos rabajados en la unidad, mientras que el segundo bloque necesitan una mayor cantidad de trabajo (codificados con una A). Al final de los ejercicios se encuentra el código de R para resolver algunos de dichos ejercicios. Cuando consideres necesario puedes plantear una solución mediante simulación para contestar a las preguntas de interés.

Ejercicio B-1. Para el proceso de mantenimiento de máquinas estamos interesados en calcular el valor esperado del número de máquinas en funcionamiento después de 9 horas de funcionamiento, suponiendo que el sistema empieza con todas las máquinas paradas.

Ejercicio B-2. Para el proceso de mantenimiento de aeronaves supongamos que cada motor funciona en promedio unas 200h antes de detectarse cualquier problema. Si los cuatro motores están funcionando antes de comenzar un vuelo de seis horas ¿cuál es la probabilidad de que el vuelo llegue de forma segura? (Hint: Para seolver este ejercico ten en cuenta la codificación de estados establecida en la definición del sistema).

Ejercicio B-3. Para el proceso de centralita telefónica supongamos que la capacidad total de la centralita es de 10 llamadas y que se reciben llamadas a una tasa de 1 por minuto, y que el tiempo medio de atención de cada llamada es de 10 minutos. Si ahora mismo la centralita está atendiendo a 3 llamadas:

¿cuál es la probabilidad de que la centralita este como máximo al 50% de su capacidad dentro de media hora? ¿y dentro de una hora?.
Si la centralita está activa durante 6 horas más ¿cuantas llamadas estarán pendientes al finalizar el tiempo de trabajo?

Ejercicio B-4. Para el proceso de sistema de inventarios supongamos que la capacidad máxima de stock del producto \(KD\) es 20, y que se solicitan nuevas piezas cuando el stock es inferior a 6. Además tenemos que la tasa de entrega de nuevos productos es de tres días, mientras que la demanda de dicho producto es de 3 piezas/dia. Si en estos momentos no hay stock de la pieza \(KD\) la empresa esta interesada en conocer ¿cuál es el stock más probable dentro de 8 días? ¿cuál es la probabilidad de que tengamos que reabastecernos al finalizar de los ocho días?

Ejercicio B-5. Para el proceso \(M/M/1/K\) del cajero bancario supongamos que los clientes llegan con una tasa de 10 por hora y que tardan en promedio unos cuatro minutos en realizar las operaciones con el cajero. Supongamos que hay espacio para como máximo cinco clientes delante del cajero automático, mientras que un cliente está siendo atendido. Si el cajero está inactivo ¿cuál es el tiempo esperado de inactividad del cajero durante la siguiente hora?.

Ejercicio B-6. Para el proceso de fabricación consideramos la situación siguiente. Supongamos que el sistema funciona las 24 horas del día, las demandas se producen a cinco por hora y el tiempo medio de fabricación de un artículo es de 10 minutos. La máquina se pone en marcha cuando el stock de artículos fabricados se reduce a dos, y permanece encendida hasta que las existencias aumentan a cuatro, momento en el que se apaga. Supongamos que el stock es de cuatro (y la máquina está apagada) al principio. Estamos interesados en la cantidad de tiempo esperada durante el cual la máquina está encendida durante las siguientes 24 horas.

Ejercicio B-7. Para el proceso de sistema de inventarios supongamos que la capacidad máxima de stock del producto \(KD\) es 20, y que se solicitan nuevas piezas cuando el stock es inferior a 6. Además tenemos que la tasa de entrega de nuevos productos es de tres días, mientras que la demanda de dicho producto es de 3 piezas/dia. Si en estos momentos no hay stock de la pieza \(KD\) la empresa esta interesada en conocer ¿cuál es el tiempo esperado durante el cúal se debe reabastecer el almacén durante los próximos 8 días?

Ejercicio B-8. Para el proceso de centralita telefónica supongamos que la capacidad total de la centralita es de 10 llamadas y que se reciben llamadas a una tasa de 1 por minuto, y que el tiempo medio de atención de cada llamada es de 10 minutos. Si ahora mismo la centralita está atendiendo a 3 llamadas ¿cuál es el tiempo esperado de que el sistema este por encima del 80% de ocupación? ¿y por debajo del 20%? ¿cuál es el tiempo esperado de que el sitema este a plena capacidad?

Ejercicio B-9. Para el sistema de mantenimiento de máquinas consideramos cuatro máquinas disponibles y dos operarios para repararlas en caso de fallo con tiempos de vida de las máquinas exponenciales con media de 3 días, y tiempos medios de reparación de 2 horas. Estamos interesados en la probabilidad a largo plazo de que todas las máquinas estén en funcionamiento, y en la fracción de tiempo a largo plazo que los dos operarios están ocupados.

Ejercicio B-10. Para el proceso \(M/M/1/K\) del cajero bancario supongamos que los clientes llegan con una tasa de 10 por hora y que tardan en promedio unos cuatro minutos en realizar las operaciones con el cajero. Supongamos que hay espacio para como máximo cinco clientes delante del cajero automático, mientras que un cliente está siendo atendido. ¿Cómo interpretamos estas probabilidades? ¿Cuál es la probabilidad de que tengamos más de dos clientes en la cola? ¿y de que tengamos como máximo 2?

Ejercicio B-11. Para el sistema de mantenimiento de aeronaves estamos interesados en conocer cual es la probabilidad límite de que el avión no pueda finalizar el vuelo.

Ejercicio B-12. Para el sistema del vendedor por ciudades viajante estamos interesados en conocer a la largo plazo cual es la proporción de tiempo que permanecerá en cada ciudad. En este caso la matriz de tasas debe tener en cuenta las probabilidades de moverse de una ciudad a otra. Si el beneficio que obtiene el vendedor es de 80 euros/día en la ciudad A, 100 euros/día en la ciudad B, 125 euros/día en C, y que además se incurre en un gasto por desplazamiento de 25 céntimos por kilómetro caundo hay 50 kilómetros entre A y B, 65 kilómetros entre A y C, y 80 kilómetros entre B y C ¿cuál es el beneficio total esperado del sistema para un periodo de un mes? ¿Cuál es la tasa de coste a largo plazo? Si el viajante comienza su viaje en la ciudad A ¿cuál es el tiempo esperado hasta que el viajante vuelva a la ciudad A?

Ejercicio B-12. Un taller mecánico consta de dos taladradoras y dos tornos. Los tiempos de vida de las taladradoras son variables aleatorias \(Exp(\mu_b)\) y las de los tornos son variables aleatorias \(Exp(\mu_l)\). El taller mecánico tiene dos reparadores: Al y Bob. Al puede reparar tanto tornos como taladros, mientras que Bob sólo puede reparar tornos. Los tiempos de reparación de las taladradoras son \(Exp(\lambda_b\) y para los tornos \(Exp(\lambda_l)\), independientemente de quién repare las máquinas. Las taladradoras tienen prioridad en las reparaciones. Las reparaciones pueden adelantarse. Haciendo las suposiciones de independencia apropiadas independencia, modelar este taller mecánico como un CMTC, considerando el proceso \(A(t) = (b, l)\) que indica el número de taladros y tornos en funcionamiento en el instante \(t\) y obtener la correspondiente matriz de tasas.

Ejercicio A-1 Un fondo de inversión se clasifica en cuatro estados según los beneficios que produce por unidad de tiempo: altos, medios, bajos, y pérdidas. Además, el movimiento entre estados puede ser visto como una CMTC con matriz de tasas:

\[ R = \begin{pmatrix} 0 & 0.1 & 0.1 & 0\\ 0 & 0 & 0.3 & 0.1\\ 0 & 0 & 0.5 & 0.5\\ 1.5 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Mientras que el sistema está en cada uno de los estados, el beneficio respectivo estimado es de 500, 250, 100, y -600 euros por unidad de tiempo.

¿cuál es el coste total esperado para un periodo de 10 unidades de tiempo?
¿cuál será la tasa de coste a largo plazo?
Si ahora mismo estamos en pérdidas ¿cuánto tiempo tiene que pasar hasta que alcanzemos beneficios altos?

La empresa considera que si el coste del estado de pérdidas se duplicará (pasar de 600 a 1200) mejorarían los datos de las cuestiones anteriores ¿qué lo podemos decir a la empresa?

Ejercicio A-2. Sea \(\{X(t), t \geq 0\}\) una CMTC con estados \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) y matriz de tasas

\[ R = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 4 & 0 & 0\\ 5 & 0 & 5 & 5 & 0\\ 5 & 5 & 0 & 4 & 4\\ 0 & 5 & 5 & 0 & 4\\ 0 & 0& 5& 5& 0 \end{pmatrix} \]

Calcular la matriz de tiempos de ocupación para \(t=0.2\).
Obtener la distribución límite del proceso.
Si el sistema incurre en costes de acuerdo a la ecuación \(c(i) = 2i+1, \quad 1\leq i\leq 5\) ¿Cuál el coste total esperado en el intervalo de tiempo \([0, 10]\), si el sistema está ahora mismo en el estado 2. ¿Cuál sería la tasa de coste a largo plazo?
¿Cuál es el tiempo esperado para ir del estado 1 al estado 5?

Ejercicio A-3. Sea \(\{X(t), t \geq 0\}\) una CMTC con estados \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) y matriz de tasas

\[ R = \begin{pmatrix} 0 & 6 & 6 & 8 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 6 & 8 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 6 & 4 & 0\\ 0 & 6 & 8 & 0 & 0 & 0\\ 6 & 0& 0& 0& 6 & 0 \end{pmatrix} \]

Calcular la matriz de tiempos de ocupación para \(t=0.1\).
Obtener la distribución límite del proceso.
Si el sistema incurre en costes de acuerdo a la ecuación \(c(i) = 2i^2+3, \quad 1\leq i\leq 6\) ¿Cuál el coste total esperado en el intervalo de tiempo \([0, 15]\), si el sistema está ahora mismo en el estado 4. ¿Cuál sería la tasa de coste a largo plazo?
¿Cuál es el tiempo esperado para ir del estado 6 al estado 4?

Ejercicio A-4. Un peso de \(18\) toneladas está sostenido por \(3\) cables que se reparten la carga por igual. Cuando uno de los cables se rompe, los restantes, que no se han roto, se reparten la carga a partes iguales. Cuando se rompe el último cable, se produce un fallo. La tasa de fallos de un cable es \(0.2\) por año y tonelada. Los tiempos de vida de los \(3\) cables son independientes entre sí. Se considera \(X(t)\) como el número de cables que siguen sin romperse en el momento \(t\).

¿Cuál es la probabilidad de que el sistema dure más de dos años?
¿Cuál es el tiempo estimado hasta que el sistema falle si ahora los tres cables están bien?

Ejercicio A-5. Un ordenador tiene cinco unidades de procesamiento (CPUs). Los tiempos de vida de las CUPs son variables aleatorias iid exponenciales de media 2 años. Cuando una CPU falla, el ordenador intenta aislarla automáticamente y reconfigurar el sistema con las demás CPU. Sin embargo, este proceso tiene éxito con una probabilidad \(0.94\), denominada factor de cobertura. Si la reconfiguración tiene éxito el sistema continúa con una CPU menos. Si el proceso falla, todo el sistema se bloquea. Supongamos que el proceso de reconfiguración es instantáneo y que una vez que el sistema se bloquea, se detiene definitivamente. Se considera \(X(t)\) igual a cero si el sistema ha dejado de funcionar en el instante \(t\), o en caso contrario es igual al número de CPUs en funcionamiento en el momento \(t\).

¿Cuál es la probabilidad de que los cinco procesadores funcionen 5 años sin fallos? (asumimos que todos los procesadores están en funcionamiento en el instante 0)

Imaginemos ahora que el sistema puede ser reparado cuando falla. El tiempo enecesario para la reparación es una variable aleatoria exponencial de media 5 días, y una vez se finaliza todas las CPUS funcionan de nuevo.

¿Cuál es la probabilidad límite de que el sistema este en reparación?.
¿cuál es el tiempo esperado hasta que el sistema falla y debe ser reparado si en estos momentos funcionan todos los procesadores?.
Supongamos que cada hora de trabajo de cada procesasor proporciona 100 euros de beneficio, mientras que las reparaciones cuestan 200 euros/hora. ¿cuál es el beneficio esperado durante el primer año si los cinco procesadores están trabajndo ahora mismo?

Ejercicio A-6. Una estación de servicio tiene tres servidores (1, 2, y 3). Cuando llega un cliente, es asignado al servidor libre con el índice más bajo. Si los servidores están ocupados el cliente no se detiene y deja la estación de servicio. Los tiempos de servicio de cada servidor son variables aletorias \(Exp(\mu_i)\) con:

media de 8 minutos para el servidor 1,
la media del servidor 2 es dos veces más rápido que el servidor 3,
la media del servidor 1 es dos veces más rápido que el servidor 2.

Los clientes llegan de acuerdo a un \(PP(\lambda)\) con tasa de 20 clientes por hora.

¿cuál es la probabilidad de que los tres servidores esten ocupados a los 20 minutos, asumiendo que el sistema está vacio en el instante 0?
¿cuál es el tiempo de ocupación de cada estado del sistema en 50 minutos, asumiendo que el sistema está vacio en el instante 0?
¿cuál es el tiempo esperado hasta que los tres servidores estén libres, asumiendo qeu el sistema tiene un cliente?
Si los costes de los tres servidores son 40, 20 y 10 euros por hora respectivamente ¿cuál el valor de \(c\) más pequeño que hace que el sistema sea rentable a largo plazo?

Ejercicio A-7. Una estación de servicio monoservicio atiende a dos tipos de clientes. Los clientes de tipo \(i, i = 1, 2,\) llegan según un \(PP(\lambda_i)\) independientes. La estación tiene espacio para atender como máximo a \(K\) clientes. Los tiempos de servicio son variables aleatorias iid \(Exp(\mu)\) para ambos tipos de clientes. La política de admisión es la siguiente. Si, en el momento de una llegada, el número total de clientes en el sistema es \(M\) o menos (aquí \(M < K\) es es un número entero fijo), se permite que el cliente que llega se incorpore a la cola; en caso contrario sólo si es del tipo 1. Esto crea un trato preferente para los clientes de tipo 1. Sea \(X(t)\) el número de clientes (de ambos tipos) en el sistema en el tiempo \(t\) . Si las tasas de llegadas son de 5 y e minutos, la tasa de servicio es de 4 minutos, \(K = 5\), y \(M = 3\).

¿Cuál es la variable de interés del sistema?
¿Cuáles son los tiempos de ocupación en el periodo de 60 minutos desde el inicio del servico, si en el instante inicial no hay clientes?
¿Cuál es la probabilidad a largo plazo de que la estación esté vacía?
Si al abrir la gasolinera tenemos un cliente ¿cuánto tiempo debe pasar hasta que rechazemos el primer cliente?

Ejercicio A-8 Una pequeña gasolinera tiene un surtidor y espacio para un total de tres coches (uno en el en el surtidor y dos en espera). El tiempo entre las llegadas de los coches a la estación es una variable aleatoria exponencial con una tasa media de llegada de 10 coches por hora. El tiempo que cada coche pasa delante del surtidor es una variable aleatoria exponencial con una media de cinco minutos (es decir, una tasa media de 12 por hora). Si hay tres coches en la estación y llega otro coche, el coche recién llegado sigue su camino y nunca entra en la estación. Considera \(X(t)\) como el número de coches en la estación en el momento \(t\).

¿Cuál es la probabilidad a largo plazo de que la estación esté vacía?
¿Cuál es el número esperado de coches en la estación a largo plazo?
¿Cuál es la proporción de tiempo que la estación estará completa en un periodo de 8 horas?
Si al abrir la gasolinera tenemos un cliente ¿cuánto tiempo debe pasar hasta que no tengamos ningún cliente en el sistema? ¿y más de uno?

Ejercicio A-9 (Cola \(M^x/M/1/K\)). Una pequeña tienda de autoservicio 24 horas de carretera tiene espacio para 5 automóviles en el parking. Los vehículos llegan al azar, siendo los tiempos de llegada una variable aleatoria exponencial con una media de 10 vehículos por hora. El número de personas dentro de cada coche es una variable aleatoria, \(N\), donde \(P(N = 1) = 0.1\), \(P(N = 2) = 0.7\) y \(P(N = 3) = 0.2\). La gente de los coches entra en la tienda y permanece en ella un tiempo exponencial. La duración media de la estancia en la tienda es de 10 minutos y cada persona actúa de forma independiente de todas las demás, saliendo de la tienda por separado y esperando en sus coches a los demás. Si llega un coche y la tienda está demasiado llena para que todas las personas del coche entren en ella, el coche saldrá y nadie de ese coche entrará en la tienda. Si \(X(t)\) es el número de individuos en la tienda en el momento \(t\), obtén la matriz de tasas corespondiente a este proceso.

¿Cuál es la probabilidad a largo plazo de que la tienda esté vacía?
¿Cuál es la proporción de tiempo que la estación estará completa en un periodo de 24 horas?

Ejercicio A-10. Un determinado equipo electrónico tiene dos componentes A y B. El tiempo hasta fallo del componente A está descrito por una función de distribución exponencial con un tiempo medio de 100 horas. El componente B tiene una vida media hasta el fallo de 200 horas y también está descrito por una distribución exponencial. Cuando uno de los componentes falla, el equipo se apaga y se realiza el mantenimiento. El tiempo de reparación del componente se distribuye exponencialmente con un tiempo medio de 5 horas si fue A el que falló y 4 horas si es B el que falla. Se considera el proceso \(X(t)\) con espacio de estados \(\{1, 2, 3\}\) donde el estado \(1\) denota que el equipo está funcionando, \(2\) denota que el componente A ha fallado, y \(3\) denota que el componente B ha fallado.

¿Cuál es la probabilidad a largo plazo de que el equipo funcione?
¿cuál es la proporción de tiempo esperado que el sistema estará funcionando durante las próximas 500 horas?
Un contratista externo realiza los trabajos de reparación de los componentes cuando se produce un fallo y cobra 100 euros por hora por el tiempo más los gastos de viaje, lo que supone 500 euros más por cada visita. La empresa ha determinado que puede contratar y formar a su propio propio reparador. Si cuentan con su propio empleado para las reparaciones, le costará 40 euros por hora, tanto cuando la máquina esté en funcionamiento como cuando esté parada. Ignorando el coste de la formación inicial y la posibilidad de que un empleado contratado para los trabajos de reparación pueda hacer otras cosas mientras la máquina está en funcionamiento, ¿merece la pena económicamente contratar y formar a su propia persona?

Ejercicio A-11. Una pieza de automóvil necesita tres operaciones de mecanizado realizadas en una determinada secuencia. Estas operaciones son realizadas por tres máquinas. La pieza se introduce en la primera máquina, donde la operación de mecanizado dura en media 1 minuto. Una vez finalizada la operación, la pieza pasa a la máquina 2, donde el mecanizado requiere un tiempo medio de 1.2 minutos. A continuación, pasa a la máquina 3, donde la operación dura en promedio 1 minuto. No hay espacio de almacenamiento entre las dos máquinas, por tanto si la máquina 2 esta trabajando, la pieza de la máquina 1 no puede ser retirada aunque la operación en la máquina 1 se haya completado. Decimos que la máquina 1 está bloqueada en este caso. Hay un amplio suministro de piezas sin procesar disponibles de modo que la máquina 1 siempre puede procesar una nueva pieza cuando una pieza terminada se desplaza a la máquina 2. Modele este sistema como un CMTC. (Hint: Tenga en cuenta que la máquina 1 puede estar trabajar o estar bloqueada, la máquina 2 puede estar trabajando, bloqueada o inactiva, y la máquina 3 puede estar trabajando o inactiva).

Calcular la cantidad de tiempo esperada que la máquina 1 está bloqueada durante la primera hora, asumiendo que todas la máquinas están trabajando en el instante 0.
Calcule la fracción de tiempo a largo plazo en que la última máquina está trabajando en el sistema de producción.
Cada máquina cuesta 40 euros por hora mientras trabaja en un componente y produce un beneficio de 75 euros/hora a la pieza en la que trabaja. El valor añadido, o el coste de funcionamiento, es cero cuando la máquina está parada o bloqueada. Calcula la contribución neta de las tres máquinas por unidad de tiempo a largo plazo.