5.5 Redes de colas en serie
Una red de colas en serie es una colección de \(K\) colas que se suceden unas a otras de tal manera que sólo es posible la entrada de clientes dede fuera del sistema a la primera de ellas, produciéndose la salida de ellas tras el servicio de la última cola. En esta situación podemos definir las medidas de eficiencia del sistema completo de colas en función de las medidas de efiecencia de cada una de las colas que conforman el sistema, teniendo en cuenta que tan sólo hay una tasa de llegada que corresponde con la cola inicial de la red.
Imaginemos \(i=1,2,...,k\) colas en red del tipo \(M/M/s_i\) independientes con tasa de entrada \(\lambda\) y tasa de servicio \(\mu_i\), y con medidas de eficiencia \(L_i, W_i, L_{q_i}, W_{q_i}\). Dadoq ue en este caso el flujo de un cliente a través de la red es secuencial será cierto que los tiempos medios de un cliente en la red son la suma de los correspondientes a cada subsistema. Si denotamos por \(L_{red}, W_{red}, L_{q_{red}}, W_{q_{red}}\) las medidas de eficencia del sistema, aplicando este razonamiento tenemos que:
\[L_{red} = \sum_{i = 1}^k L_i\]
\[W_{red} = \sum_{i = 1}^k W_i\]
\[W_{q_{red}} = W_{red} - \left(\sum_{i = 1}^k \frac{1}{\mu_i}\right)\]
\[L_{q_{red}} = \lambda W_{q_{red}}\]
de esta forma basta con analizar cada una de las clas que conforman la red para estudiar el comportamiento global del sistema.
Ejemplo 5.3 Una empresa de ITV en una localidad dispone de una superficie que consta de tres partes: Una caseta donde los clientes entregan la documentación del vehículo y realizan el pago de tasas, sin restricciones paa atender ningún vehículo. Una nave formada por dos circuitos (revisión y oficina de personal técnico) atendidos por dos técnicos cada uno de ellos. Los vehículos que llegan a la nave son atendidos con una tasa de servicio medio de 45 clientes/hora para la revisión y 2 minutos/cliente en la oficina de personal técnico. Los coches acuden a la empresa a una media de 57 clientes/hora, ya que un mayor número de vehículos colapsaría el trabajo de la caseta, cuyo empleado atiende a un ritmo medio de 1 cliente/minuto. Las llegadas siguen un Proceso de Poisson y los tiempos de servicio se distribuyen según una variable exponencial. Se pide:
- Factor de utilziación o intensidad de tráfico en cada nodo de la red.
- Probabildiades de que no haya ningún cliente en cada uno de los nodos de la red.
- Longitud media de la cola de vehículos que habiendo pagado las tasas se encuentran esperando a la entrada de la nave.
- Tiempo medio que un cliente pasa en la revisión.
- Tiempo medio que un cliente pasa en la oficina de personal técnico.
- Tiempo medio que un cliente se encuentra en la ITV.
- Para agilizar el proceso la empresa estudia la posibilidad de ampliar el número de servidores en la caseta o en la oficina. Suponiendo que el coste de ampliación en uno u otro lugar fuera equivalente, ¿qué criterio sería más acertado para que el tiempo de servicio del sistema fuera menor?
El sistema se puede describir com una red de colas en serie con nodos: caseta (\(M/M/1\)), equipamiento (\(M/M/2\)) y personal técnico (\(M/M/2\)), con tasas de llegadas y servicio (expresadas en minutos) dadas por:
\[\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 57/60 = 0.95\]
\[\mu_1 = 1; \mu_2 = 45/60 = 0.75; \mu_3 = 1/2 = 0.5\]
Planteamos los tres sistemas de colas y obtenemos las correspondientes medidas de eficiencia:
# M/M/1
nodo1 <- QueueingModel(NewInput.MM1(lambda = 0.95, mu = 1, n = 15))
# M/M/2
nodo2 <- QueueingModel(NewInput.MMC(lambda = 0.95, mu = 0.75, c = 2, n = 15))
# M/M/2
nodo3 <- QueueingModel(NewInput.MMC(lambda = 0.95, mu = 0.5, c= 2, n = 15))
# Medidas de eficiencia de cada nodo
ef.nodo1 <- c(nodo1$RO, nodo1$L, nodo1$Lq, nodo1$W, nodo1$Wq, nodo1$Pn[1])
ef.nodo2 <- c(nodo2$RO, nodo2$L, nodo2$Lq, nodo2$W, nodo2$Wq, nodo2$Pn[1])
ef.nodo3 <- c(nodo3$RO, nodo3$L, nodo3$Lq, nodo3$W, nodo3$Wq, nodo3$Pn[1])
eficiencia <- data.frame(rbind(ef.nodo1, ef.nodo2, ef.nodo3))
names(eficiencia) <-c("Ro", "L", "Lq", "W", "Wq","P_0")
eficiencia## Ro L Lq W Wq P_0
## ef.nodo1 0.9500000 19.000000 18.0500000 20.000000 19.0000000 0.05000000
## ef.nodo2 0.6333333 2.115028 0.8483612 2.226345 0.8930118 0.22448980
## ef.nodo3 0.9500000 19.487179 17.5871795 20.512821 18.5128205 0.02564103