5.1 Terminología y y medidas de eficiencia

Notación habitual de los sistemas de colas:

$N(t)$: Denota el número de clientes en el sistema en el instante $t$. $N(t)$ es una CMTC con espacio de estdos discreto.

$N_q(t)$: Representa el número de clientes en la cola en el instante $t$.

$P_n(t)$: Es la probabilidad de que, en el instante $t$, se encuentren $n$ clientes en el sistema. A estos efectos se supone conocido el número de clientes en el instante cero (usualmente dicho número es cero). Estas probabilidades se corresponden con las probabilidades de trasnsición comenzando desde el estado 0 que vimos en la unidad anterior.

$s$: Denota el número de servidores del mecanismo de servicio.

$\lambda_n$: Representa el número medio de llegadas de clientes al sistema, por unidad de tiempo, cuando ya hay $n$ clientes en él. También se denomina tasa de llegadas (que se correspondería con la tasa de nacimientos si $N(t)$ es un proceso de nacimiento y muerte). Cuando las tasas de llegada no dependen de $n$ (es decir todos los $n$ son constantes) suele denotarse $\lambda$ dicho valor constante.

$\mu_n$: Es el número medio de clientes a los que se les completa el servicio, por unidad de tiempo, cuando hay $n$ clientes en el sistema. Es frecuente referirse a los $mu_n$ como tasas de complección de servicio (o, simplemente, tasas de servicio). Si todos los servidores tienen la misma distribución del tiempo de servicio, suele denotarse por $\mu$ el número medio de clientes que puede atender cada servidor por unidad de tiempo. Como consecuencia se tiene que $\mu_n = n\mu$ si $n = 1, 2,... ,s$ y $\mu_n = s\mu$ para $n \geq s$.

$\rho$: Es la llamada razón o constante de utilización del sistema (o intensidad de tráfico. Se define, como

\[\rho = \frac{\lambda}{s\mu}\]

Cuando los $\lambda_n$ son constantes y todos los servidores tienen la misma distribución de tiempo de servicio, $\lambda$ es el número medio de clientes que entran en el sistema y $s\mu$ es el número medio de clientes a los que pueden dar servicio los $s$ servidores cuando todos están ocupados. En estas condiciones, $\rho$ representa la fracción de recursos del sistema que es consumida por los clientes. Así, intuitivamente, parece necesario que se cumpla, en estos casos, que $\rho < 1$ y además cuanto más cercano a 1 que sea $\rho$, más tráfico ha de soportar el sistema (o menos tiempo libre tendrán los servidores, o más espera habrán de sufrir los clientes, como se quiera expresar).

En toda la unidad asumimos que todos los modelos de colas son estacionarios, de forma que los procesos $\{N(t), t \geq 0\}$ y {N_q(t), t }$ no cambían con el tiempo. Podemos entonces definir las variables de interés del sistema:

$N$: Es la variable aleatoria que contabiliza el número de clientes en el sistema.

$N_q$: Denota la variable aleatoria número de clientes en la cola.

$p_n$: Probabilidad de que se encuentren $n$ clientes en el sistema $(n = 0, 1,... )$.

y las medidas de eficiencia:

$L$: Representa el número medio de clientes en el sistema, es decir $L = E(N)$.

$L_q$: Que no es más que el número medio de clientes en la cola, o lo que es lo mismo, $L_q = E(N_q)$.

$T$: Es la variable aleatoria que describe el tiempo que un cliente pasa en el sistema.

$T_q$: Representa el tiempo que un cliente espera en la cola.

$W$ : Es el tiempo medio que un cliente está en el sistema, o simplemente, $W = E(T)$.

$W_q$: Denota el tiempo medio de espera en la cola para un cliente genérico. Matemáticamente, $W_q = E(T_q)$.