3.4 Ejercicios

3.4.1 Básicos

Ejercicio B3.1. En una tienda de animales entran clientes a razón de 8 por hora.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen al menos 4 clientes durante los próximos 30 minutos?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que en las 8 horas en que permanece abierta la tienda entren al menos 70 clientes?

Ejercicio B3.2. En una estación de bomberos el tiempo entre llamadas por avisos sigue una distribución exponencial con una media de 32 minutos.

  1. Acaba de llegar una llamada. ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima llamada se produzca en menos de media hora?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan exactamente dos llamadas durante la próxima hora?

Ejercicio B3.3. Una empresa que controla la seguridad de una ciudad ha observado que los intentos de entrar en domicilios ajenos para robar (para los que tienen contratada la seguridad con ellos) ocurren con un PP de tasa 2.2 por día. El sistema opera 24 horas al día.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que mañana se produzcan 4 intentos de robo?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que no se produzca ningún intento de robo durante la noche (entre las 12 de la noche y las 8 de la mañana)?
  3. Si ahora es medianoche y el último intento de robo se produjo a las 10:30pm, ¿cuál es la probabilidad de que el siguiente intento ocurra antes de las 5:30am?

Ejercicio B3.4. En el caso de la empresa de seguridad del Ejercicio B3.3 resulta que además se sabe que el 10% de los intentos de entrar en la casa resultan en robo efectivo.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan 3 intentos de robo que acaben en robo?
  2. Ahora mismo son las 6am del lunes. El último intento de robo que acabó en robo ocurrió a medianoche. ¿Cuál es la probabilidad de que no se hayan producido robos durante dicho periodo?

Ejercicio B3.5. En una máquina hay dos tipos comunes de fallos críticos: en la componente electrónica A o en la B. Si cualquiera de estas componentes falla, la máquina se para. La componente A falla conforme a un PP con tasa 1.1 fallos por turno (la fábrica trabaja 24/7 en turnos de 8 horas). La componente B falla según un PP con tasa 1.2 fallos por día.

  1. ¿Cuál es la probabiliadd de que se produzcan exactamente 5 fallos de la máquina durante un día?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina no se pare más de una vez durante el siguiente turno?
  3. Ahora mismo es mediodía y el último fallo se produjo hace 4 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo parón se produzca antes de las 6pm?
  4. Simula los parones de la máquina, mostrando qué componente falla en cada ocasión y asumiendo que el tiempo de reparación es despreciable y la máquina continua trabajando inmediatamente. Estima la probabilidad de que la máquina no se pare más de 1 vez durante un turno.
  5. Simula los parones de la máquina, mostrando qué componente falla en cada ocasión y asumiendo que el tiempo de reparación de cada componente se distribuye uniforme entre 5 y 60 minutos. Estima la probabilidad de que la máquina no se pare más de 1 vez durante un turno.

Ejercicio B3.6. Los clientes entran en una tienda según un PP con tasa 5 clientes por hora. La probabilidad de que un cliente se vaya sin comprar es 0.20. Si el cliente compra, lo que se gasta se puede aproximar con una distribución Gamma con parámetro de escala 100€ y de forma 2.5.

  1. Da la media y la desviación típica del dinero que consigue la tienda por las compras de los clientes que entran en una hora.
  2. Calcula lo mismo para una franja de 10 horas.

Estima la probabilidad de que la máquina no se pare más de 1 vez durante un turno.

Ejercicio B3.7. En el caso de la empresa de seguridad del Ejercicio B3.3 resulta que se ha estudiado mejor y el número de intentos de robo sigue un PP cuya tasa depende de la franja horaria. Entre las 6am y las 8am la tasa es de 0.3, entre las 8pm-medianoche de 0.6, de medianoche a las 4am la tasa es 1 y de las 4am a las 6am la tasa es 0.3. Contesta a las mismas preguntas que se formularon en el Ejercicio B3.3.

Ejercicio B3.8. Se envía una nave espacial a Júpiter para tomar fotos de las lunas y enviarlas a la Tierra. Hay tres sistemas críticos involucrados: la cámara, la batería y la antena de transmisión. Estos tres sistemas fallan independientemente entre sí. La vida esperada de la batería es de 6 años, la de la cámera es 12 años y la de la antena de 10 años. Asume que todos los tiempos de vida son v.a. exponenciales La nave alcanzará Júpiter después de 3 años desde que arranca la misión. ¿Cuál es la probabilidad de que la misión resulte exitosa?

Ejercicio B3.8. En una maternidad los partos simples se dan con probabilidad, 0.9, los de mellizos o gemelos con probabilidad 0.08 y los de trillizos con probabilidad 0.02. El número de partos sigue un PP con tasa 10 por día.

  1. Calcula el número esperado de nacimientos a lo largo de un día.
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que se dé al menos un parto de gemelos o mellizos?
  3. Suponiendo que durante un día han nacido unos gemelos, ¿cuál es el número de partos que se han dado?

Ejercicio B3.9. El número de coches que visitan un parque nacional sigue un PP con tasa 15 por hora. Cada coche tiene k ocupantes con probabilidad \(p_k\), donde \[p_1=0.2, \quad, p_2=0.3, \quad p_3=0.3, \quad p_4=0.1, \quad p_5=0.5, \quad p_6=0.05.\]

  1. Calcula la media y la varianza del número de visitantes del parque durante un periodo de 10 horas.
  2. Si el coste de la entrada de cada coche es de 4€, con un recargo de 1€ por ocupante, calcula la media y la varianza del dinero que consigue el parque durante 10 horas.

3.4.2 Avanzados

Ejercicio A3.1 Programa un algoritmo de simulación para la superposición de PP definida en la Sección Superposición y resuelve con simulación el Ejemplo @ref(ex_pp002).

Ejercicio A3.2 Programa un algoritmo de simulación para la mixtura de PP definida en la Sección Adelgazamiento con mixtura y resuelve con simulación el Ejemplo @ref(ex_pp003).

Ejercicio A3.3 Programa un algoritmo de simulación para la composición de PP definida en la Sección Composición y resuelve con simulación el Ejemplo @ref(ex_pp004).

Ejercicio A3.4 Programa un algoritmo de simulación para PP no estacionarios, definidos en la Sección PP no estacionarios y resuelve con simulación el Ejemplo @ref(ex_pp005).

Ejercicio A3.5 Un servicio de venta telefónica recibe llamadas conforme a un PP. Simula el proceso y calcula el volumen esperado (en términos de euros) de las ventas que se realizan durante un intervalo de 15 minutos desde las 12 del mediodía hasta las 12:15pm bajo las diversas condiciones que se proponen a continuación, asumiendo que todos los días son probabilísticamente iguales.

  1. El PP de llegadas ees estacionario con tasa de 50 llamadas por hora. Además, sólo la mitad de las llamadas acaban en compras, el 30% de las llamadas acaban con una compra de 100€ y el 20% con compras de 200€.
  2. Como la mayoría de la gente tiende a llamar en su descanso para almorzar, la tasa de llegadas se incrementa lentamente a partir de mediodía; entre las 12 y las 12:05 la tasa es de 40 llamadas, entre las 12:05pm y las 12:10pm, la tasa es de 45 llamadas por hora, y desde las 12:10pm hasta las 12:50pm la tasa es de 50 llamadas. Las probabilidades y compras son similares a las del apartado 1.
  3. La tasa de llamadas se aproxima con una función lineal que da 40 llamadas por hora al mediodía y 50 a las 12:15pm. La tasa es constante durante los siguientes 30 minutos. Las probabilidades y compras sin similares a las del apartado 1.