1.8 Procesos estocásticos

Una vez hemos recordado cuestiones básicas y distribuciones comunes de probabilidad, a la vez que hemos aprendido algunos algoritmos como el de la Transformada Inversa (Sección 1.5 o el de Composición Sección 1.7.2), damos un paso más y presentamos el concepto de procesos estocásticos, que es el objeto de esta asignatura.

Definición 1.23 Un proceso estocástico es una secuencia de variables aleatorias \(\{X(t), t \in T\}\) y que dependen del parámetro \(t\), que toma valores en el conjunto índice \(T\) o de instantes de tiempo.

Se denomina espacio de estados del proceso, \(S\), al conjunto de todos los posibles valores de las variables aleatorias que componen el proceso.

Si \(T\) es un conjunto de tiempos discretos, \(t = 0, 1, 2, 3,...\), definidos por ejemplo al finalizar cada día o cada hora, obtenemos un proceso estocástico de tiempo discreto (PETD), \(\{X(0), X(1), X(2),...\}\).

En cambio, si observamos el sistema continuamente a lo largo del tiempo \(t>\geq 0\), obtenemos un proceso estocástico de tiempo continuo (PETC), \(\{X(t), t \geq 0\}\).

El espacio de estados de un proceso puede ser de tipo discreto o continuo, en función de los posibles valores que pueden tomar las variables aleatorias \(X(t)\) que lo componen.

1.8.1 Ejemplos de procesos estocásticos

A continuación veamos algunos ejemplos de procesos PETD y PETC. Te proponemos identificar en cada uno de ellos cuáles pueden ser las cuestiones de interés a investigar.

En primer lugar, presentamos algunos ejemplos de procesos estocásticos de tiempo discreto (PETD).

Ejemplo 1.23 Sea \(X_t\) la temperatura (en grados centígrados) registrada en el aeropuerto de Alicante-Elche a las 12:00 horas del día \(t\). El espacio de estados del proceso estocástico \(S\) viene dado por \((-20, 50).\) Esto implica que la temperatura nunca baja de veinte bajo cero ni supera los cincuenta grados; da lugar a un espacio de estados continuo.

Ejemplo 1.24 Consideramos como \(X_t\) la variable aleatoria que registra el número ganador de la ONCE en el sorteo diario. Puesto que los números tienen 5 dígitos, el espacio de estados es discreto y viene dado por el conjunto de enteros entre 00000 y 99999.

Ejemplo 1.25 Sea \(X_t\) la variable aleatoria que registra el valor del IPC al final del mes \(t\) para España. En tería el IPC puede tomar cualquier valor ente \((-\infty, +\infty)\), por lo que el espacio de estados es continuo.

Ejemplo 1.26 Sea \(X_t\) el número de reclamaciones que recibe una compañía de seguros una semana cualquiera \(t\). El espacio de estados es discreto y viene dado por \(\{0, 1, 2, 3, 4,...\}\).

Ejemplo 1.27 Sea \(X_t\) el número de accidentes que ocurren en la carretera que une las poblaciones de Elche y Santa Pola en la semana \(t\). El espacio de estados es discreto y viene dado por \(\{0, 1, 2, 3, 4,...\}\).

Ejemplo 1.28 Sea \(X_t\) el número de productos defectuosos que genera una cadena de producción en cada uno de los lotes fabricados a lo largo de un día. El espacio de estados es discreto, \(\{0, 1, 2, 3, 4,...\}\) y también \(t\), que identifica el número de lote producido.

Y a continuación veamos otros ejemplos de procesos estocásticos de tiempo continuo (PETC).

Ejemplo 1.29 Supongamos que una máquina puede estar en dos estados, encendido o apagado. Sea \(X(t)\) la variable aleatoria que refleja el estado de la máquina en el instante de tiempo \(t\). Entonces \(\{X(t), t \geq 0\}\) es un proceso estocástico de tiempo continuo con el espacio de estados discreto, con valores posibles {encendido, apagado}.

Ejemplo 1.30 Un ordenador personal (PC) puede ejecutar muchos procesos simultáneamente. Si \(X(t)\) es el número de procesos que se ejecutan en dicho PC en el momento \(t\). Entonces \(X(t), t \geq 0\) es un proceso estocástico de tiempo continuo con espacio de estados discreto \(0, 1, 2,...,K\) ,donde \(K\) es el número máximo de trabajos que puede manejar el PC simultáneamente.

Ejemplo 1.31 Sea \(X(t)\) es el número de clientes que entran a una tienda de libros en una franja de tiempo de duración \(t\). Entonces \(X(t), t \geq 0\) es un proceso estocástico de tiempo continuo con espacio de estados discreto \(0, 1, 2,...\).

Ejemplo 1.32 Sea \(X(t)\) una variable que recopila información sobre si se produce o no un fallo en el sistema de alimentación eléctrico de un circuito a lo largo del tiempo. El espacio de estados es discreto, con valores \(\{0,1\}\).

Ejemplo 1.33 Sea \(X(t)\) la temperatura en grados centígrados registrada en una localización dada en cualquier instante de tiempo \(t\). Entonces \(X(t), t \geq 0\) es un proceso estocástico de tiempo continuo con espacio de estados continuo.

1.8.2 Función de distribución del proceso

Los ejemplos anteriores muestran una variedad de problemas que pueden ser modelados y estudiados como procesos estocásticos, y para hacerlo será preciso analizar el comportamiento aleatorio del proceso, sea cual sea la naturaleza de los tiempos, discretos o continuos.

Puesto un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias, la forma de inferir sobre él es a través de la función de distribución conjunta que se construye a partir de las variables \(X(t_1), X(t_2),...,X(t_n)\):

\[\begin{equation} F(x_1, x_2,...,x_n) = Pr(X(t_1) \leq x_1, X(t_2) \leq x_2,..., X(t_n) \leq x_n) \tag{1.14} \end{equation}\]

donde \(x_1, x_2,..., x_n \in \mathbb{R}^n.\)

Si el proceso estocástico tiene una estructura simple, entonces los cálculos no son excesivamente complicados, pero no suele ser la tónica de procesos útiles para representar sistemas reales. A lo largo de los años los investigadores han modelizado y estudiado clases especiales de procesos estocásticos que pueden utilizarse para describir una gran variedad de sistemas reales, resolviendo y posibilitando así los cálculos probabilísticos necesarios, aunque su complejidad en ocasiones no haya sido evitable. Las dos clases más importantes de procesos estocásticos ya modelizados son las cadenas de Markov de tiempo discreto (CMTD) y las cadenas de Markov de tiempo continuo (CMTC). Sin embargo, en los últimos años el desarrollo de la computación ha posibilitado el uso intensivo de la simulación para resolver de un modo sencillo cálculos probabilísticos complejos y así analizar fácilmente el comportamiento de los sistemas reales, sin necesidad de extraer analíticamente la distribución de probabilidad conjunta del proceso.

En los temas siguientes iremos describiendo este tipo de procesos, mostrando los resultados teórico, pero centrándonos en cómo utilizar las herramientas de simulación disponibles para reproducir el comportamiento del sistemas reales sin necesidad de registrar datos ni de realizar complejos desarrollos probabilísticos.

Por analogía con el análisis de variables aleatorias serán relevantes en el estudio de procesos estocásticos, su valor esperado, \(E[X(t)]\), su varianza, \(V[X(t)] = E[X(t)^2] - E[X(t)]^2\) y la covarianza \(Cov[X(t), X(s)] = E[X(t)X(s)] - E[X(t)]E[X(s)]\), que vendrán dadas en función de tiempos \(t\) y \(s\).