2.4 部分積分

より複雑な関数の積分を行う際によく用いられる方法として，部分積分と置換積分がある． ここではまず部分積分について紹介する．

Theorem 2.6 (部分積分) 関数$F,g$が区間$I=(a,b)$上で微分可能とし，$F'(x) = f(x)$とする．このとき，次が成り立つ． $$\begin{align} \int_a^b f(x) g(x) dx = \left[ F(x)g(x) \right]_a^b - \int_a^b F(x) g'(x) dx \end{align}$$

この式変形を部分積分と呼ぶ．

この定理は，微分の公式にある

$$\left( f(x) g(x) \right)' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$$

を両辺積分することによって直ちに導かれる．

Exercise 2.4 (部分積分) 次の定積分を求めよ． $$\begin{align} \int_1^2 \log x dx \end{align}$$