2.2 定積分

定積分とは，積分の際に特定の範囲に限定して積分を求める演算である．

Definition 2.2 (定積分) 連続関数$f(x)$についての$x \in [a,b], a<b$での定積分とは，$x=a$から$x=b$の範囲で$x$軸と$f(x)$で囲まれた領域の面積のことを意味する． これを

$$\begin{align} \int_a^b f(x) dx \end{align}$$

と表し，定積分と呼ぶ．$f(x)$は被積分関数という．

Figure 2.1: 定積分における面積の正負

定積分の計算では，面積の値が負になる場合がある．具体的には，関数値が$x$軸よりも上側（大きい）か，下側（小さい）かで別れる． 図2.1では青色の部分がプラスの面積，マイナスの面積であることを示している． そこで，我々が普段扱う面積と対応するように，負の面積についてのみ，ちゃんと正の値として足し上げる必要がある． そのためには，どの範囲で関数の値が負になるのかどうかについて，増減表などを用いてあらかじめ把握しておく必要がある．

また，不連続な点を有限個持つような関数$f(x)$における定積分は，連続な部分の定積分の和として定義される． 例えば$I = [a,b]$を定義域とし，ある点$c \in (a,b)$で不連続である関数$f(x)$については

$$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$$ として定積分を求める．

Theorem 2.2 (定積分) 関数$f(x)$の原始関数を$F(x)$とする．このとき，$f(x)$の$I = [a,b]$での定積分は

$$\begin{align} \int_a^b f(x)dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a) \end{align}$$

と計算される．

Exercise 2.2 (定積分1) 次の定積分を求めよ．

$$\begin{align} \int_0^2 2e^xdx \end{align}$$