1.8 微分の応用

まず，良く見られる関数形についてその微分の形式の一覧の表を以下に示す．

$$\begin{array}{l|ccccc} \hline f(x) & x^k & e^x & \log x & a^x & \log_a x \\ \hline f'(x) & k x^k & e^x & \frac1x & a^x \log a & \frac{1}{x \log a} \\ \hline \end{array}$$ $$\begin{array}{l|cccccc} \hline f(x) & \sin x & \cos x & \tan x & \sin^{-1} x & \cos x^{-1} & \tan x^{-1} \\ \hline f'(x) & \cos x & -\sin x & 1/\cos^2 x & 1/\sqrt{1-x^2} & -1/\sqrt{1-x^2} & 1/(1+x^2) \\ \hline \end{array}$$

Exercise 1.5 (微分の練習) 次の関数を微分せよ．

1. $(x^n)''$（２階微分せよ）
2. $(x^n)^{(n)}$（n階微分せよ）
3. $(e^x)^{(n)}$（n階微分せよ）
4. $f(x) = x e^{-ax^2}$