1.10 高階導関数

関数を微分した結果も関数であるので，仮定を満たせばその関数もまた微分可能である．すなわち，微分した関数の微分を考えることができる．このように，元の関数から数えて\(n\)回微分した関数を\(n\)階導関数・\(n\)階微分などという．

Theorem 1.12 (n階微分) 関数\(f(x)\)の導関数\(f'(x)\)をさらに微分したものを\(2\)階導関数といい，\(f''(x)\)や\(f^{(2)}(x)\)と表す．同様に，\(n-1\)階導関数\(f^{(n-1)}\)を微分したものを\(n\)階導関数といい\(f^{(n)}\)と表す．一般に，２階以上の導関数を高階導関数という．

また，関数\(f\)が\(n\)階まで微分可能である時，\(n\)階微分可能などという．

Exercise 1.8 (高階導関数) \(f(x) = 4 x^4\)を可能な限り繰り返し微分せよ．さらに何階導関数であるかも答えよ．

Definition 1.4 (変曲点) 関数\(f(x)\)が２階微分可能であるとする．このとき，\(f''(a) = 0\)となる点のうち，\(x=a\)の周りにおいて，以下のいずれかに該当するとき，\(x=a\)を\(f(x)\)の変曲点という．

1. \(x < a \Rightarrow f''(x) < 0\)かつ\(x > a \Rightarrow f''(x) > 0\)
2. \(x < a \Rightarrow f''(x) > 0\)かつ\(x > a \Rightarrow f''(x) < 0\)

つまり，変曲点とは，傾きそのものの増減の傾向が変わる点である．

傾きの大きさが減り続ければ関数の値は加速度的に小さくなり，傾きの大きさが増え続ければ関数の値は加速度的に大きくなる．傾きの大きさの増減の傾向が変わるポイントは，関数形を知る上で重要なのである．