1.10 高階導関数
関数を微分した結果も関数であるので,仮定を満たせばその関数もまた微分可能である.すなわち,微分した関数の微分を考えることができる.このように,元の関数から数えてn回微分した関数をn階導関数・n階微分などという.
Theorem 1.12 (n階微分) 関数f(x)の導関数f′(x)をさらに微分したものを2階導関数といい,f″やf^{(2)}(x)と表す.同様に,n-1階導関数f^{(n-1)}を微分したものをn階導関数といいf^{(n)}と表す.一般に,2階以上の導関数を高階導関数という.
また,関数fがn階まで微分可能である時,n階微分可能などという.
Exercise 1.8 (高階導関数) f(x) = 4 x^4を可能な限り繰り返し微分せよ.さらに何階導関数であるかも答えよ.
Definition 1.4 (変曲点) 関数f(x)が2階微分可能であるとする.このとき,f''(a) = 0となる点のうち,x=aの周りにおいて,以下のいずれかに該当するとき,x=aをf(x)の変曲点という.
- x < a \Rightarrow f''(x) < 0かつx > a \Rightarrow f''(x) > 0
- x < a \Rightarrow f''(x) > 0かつx > a \Rightarrow f''(x) < 0
つまり,変曲点とは,傾きそのものの増減の傾向が変わる点である.
傾きの大きさが減り続ければ関数の値は加速度的に小さくなり,傾きの大きさが増え続ければ関数の値は加速度的に大きくなる.傾きの大きさの増減の傾向が変わるポイントは,関数形を知る上で重要なのである.