1.10 高階導関数

関数を微分した結果も関数であるので，仮定を満たせばその関数もまた微分可能である．すなわち，微分した関数の微分を考えることができる．このように，元の関数から数えて$n$回微分した関数を$n$階導関数・$n$階微分などという．

Theorem 1.12 (n階微分) 関数$f(x)$の導関数$f'(x)$をさらに微分したものを$2$階導関数といい，$f''(x)$や$f^{(2)}(x)$と表す．同様に，$n-1$階導関数$f^{(n-1)}$を微分したものを$n$階導関数といい$f^{(n)}$と表す．一般に，２階以上の導関数を高階導関数という．

また，関数$f$が$n$階まで微分可能である時，$n$階微分可能などという．

Exercise 1.8 (高階導関数) $f(x) = 4 x^4$を可能な限り繰り返し微分せよ．さらに何階導関数であるかも答えよ．

Definition 1.4 (変曲点) 関数$f(x)$が２階微分可能であるとする．このとき，$f''(a) = 0$となる点のうち，$x=a$の周りにおいて，以下のいずれかに該当するとき，$x=a$を$f(x)$の変曲点という．

1. $x < a \Rightarrow f''(x) < 0$かつ$x > a \Rightarrow f''(x) > 0$
2. $x < a \Rightarrow f''(x) > 0$かつ$x > a \Rightarrow f''(x) < 0$

つまり，変曲点とは，傾きそのものの増減の傾向が変わる点である．

傾きの大きさが減り続ければ関数の値は加速度的に小さくなり，傾きの大きさが増え続ければ関数の値は加速度的に大きくなる．傾きの大きさの増減の傾向が変わるポイントは，関数形を知る上で重要なのである．