1.11 増減表

最後に微分・2階微分を合わせて利用できる次の定理を紹介する.

Theorem 1.13 (増減表) 関数f(x)が2階微分可能である時,f(a)=0かつf(a)>0とすると,f(x)x=aで極小値を持つ.また,f(a)=0かつf(a)<0とすると,f(x)x=aで極大値を持つ.

f(x)=0はあくまで極値の候補点に過ぎないが,2階微分の結果を合わせると極大・極小の判定ができる.

増減表とは以下のように,f(x)=0となる点とその間の関数の傾向を微分・2階微分の結果と合わせて整理した表である.

x x1 x2
f(x) f(x1) f(x2)
f(x) 0 0
f(x) f(x1) f(x2)

これを用いると,どの点で関数の傾向が変わっているのかを整理でき,グラフが書けるようになる.

Exercise 1.9 (増減表) f(x)=x4+4x2+4x21について増減表を作成し,グラフを書け.