1.11 増減表

最後に微分・２階微分を合わせて利用できる次の定理を紹介する．

Theorem 1.13 (増減表) 関数$f(x)$が２階微分可能である時，$f'(a) = 0$かつ$f''(a) > 0$とすると，$f(x)$は$x=a$で極小値を持つ．また，$f'(a) = 0$かつ$f''(a) < 0$とすると，$f(x)$は$x=a$で極大値を持つ．

$f'(x) = 0$はあくまで極値の候補点に過ぎないが，２階微分の結果を合わせると極大・極小の判定ができる．

増減表とは以下のように，$f'(x) = 0$となる点とその間の関数の傾向を微分・２階微分の結果と合わせて整理した表である．

$x$	$\cdots$	$x_1$	$\cdots$	$x_2$	$\cdots$
$f(x)$	$\cdots$	$f(x_1)$	$\cdots$	$f(x_2)$	$\cdots$
$f'(x)$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$0$$\cdots$
$f''(x)$	$\cdots$	$f''(x_1)$	$\cdots$	$f''(x_2)$	$\cdots$

これを用いると，どの点で関数の傾向が変わっているのかを整理でき，グラフが書けるようになる．

Exercise 1.9 (増減表) $f(x) = x^4 + 4 x^2 + 4 x^2 - 1$について増減表を作成し，グラフを書け．