1.11 増減表

最後に微分・２階微分を合わせて利用できる次の定理を紹介する．

Theorem 1.13 (増減表) 関数\(f(x)\)が２階微分可能である時，\(f'(a) = 0\)かつ\(f''(a) > 0\)とすると，\(f(x)\)は\(x=a\)で極小値を持つ．また，\(f'(a) = 0\)かつ\(f''(a) < 0\)とすると，\(f(x)\)は\(x=a\)で極大値を持つ．

\(f'(x) = 0\)はあくまで極値の候補点に過ぎないが，２階微分の結果を合わせると極大・極小の判定ができる．

増減表とは以下のように，\(f'(x) = 0\)となる点とその間の関数の傾向を微分・２階微分の結果と合わせて整理した表である．

\(x\)	\(\cdots\)	\(x_1\)	\(\cdots\)	\(x_2\)	\(\cdots\)
\(f(x)\)	\(\cdots\)	\(f(x_1)\)	\(\cdots\)	\(f(x_2)\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(\cdots\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(0\)\(\cdots\)
\(f''(x)\)	\(\cdots\)	\(f''(x_1)\)	\(\cdots\)	\(f''(x_2)\)	\(\cdots\)

これを用いると，どの点で関数の傾向が変わっているのかを整理でき，グラフが書けるようになる．

Exercise 1.9 (増減表) \(f(x) = x^4 + 4 x^2 + 4 x^2 - 1\)について増減表を作成し，グラフを書け．