1.9 微分を活用した関数形の判定

微分とは，関数のある点$a$（つまり局所的）の付近で傾きであると紹介した．つまり，その傾きが正($f'(a) > 0$)であればその点周りで関数の値は大きくなっているし，負（$f'(a) < 0$）であればその逆ということが言える．どちらでもない，すなわち$f'(a) = 0$の場合は関数の値は一定であると言える．

この性質を利用して次の定理が導かれる．

Theorem 1.9 (単調増加・減少関数) 関数$f(x)$が区間$I = (a,b)$上で微分可能であるとする．このとき，

$$\begin{align} {}^{\forall}x \in I, f'(x) > 0 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2), x_1 < x_2(\in I ) \end{align}$$

が成り立つ．このような関数を単調増加関数という． また同様に

$$\begin{align} {}^{\forall}x \in I, f'(x) < 0 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2), x_1 < x_2(\in I ) \end{align}$$

も成り立つ．このような関数を単調減少関数という．

$f'(a) = 0$のように微分の値が$0$となる場合に言及した次の定義を紹介する．

Definition 1.3 (極大値・極小値) 関数$f(x)$が$x=a$を含むある開区間$I$上で

$$\begin{align} f(x) < f(a), x \in I, x \neq a \end{align}$$

が成り立つ時，$f(x)$は$x=a$で極大値$f(a)$を持つという．逆に

$$\begin{align} f(x) > f(a), x \in I, x \neq a \end{align}$$

が成り立つ時，$f(x)$は$x=a$で極小値$f(x)$を持つという． 極大値・極小値を区別せずに扱う時，極値という．

極大・極小とは，「極めて大きい・小さい」という意味では無く，「極限」を考えたときに局所的に最大・最小となっているという意味であることに注意されたい． ある点が極値であるかどうかは次のように判定することができる．

Theorem 1.10 (極値と微分) 関数$f(x)$が微分可能であり，$x=a$で極値を持つとする．このとき，$f'(a) = 0$となる．

Exercise 1.6 (極値と微分) 関数$f(x)$が微分可能であり，$x=a$で$f'(a) = 0$であるが，極値でない例をあげよ．

さらに，関数の最大値・最小値について次の定理が成り立つ．

Theorem 1.11 (関数の最大値・最小値) 関数$f(x)$が区間$[a,b]$で連続，区間$(a,b)$で微分可能とする．このとき，$f(x)$は$[a,b]$上で最大値・最小値を持つが，その時の$x$の値は，$f'(x)=0$となる点，または$x=a,b$のいずれかである．

Exercise 1.7 (極大値・極小値) $f(x) = x^2$について，極値と極値を取る$x$の値を求め，グラフで示せ．