1.2 微分とその定義

微分とは，変化の割合をある意味で拡張した概念である．

Definition 1.2 (微分) 関数$f(x)$について，$x=a$での微分とは

$$\begin{align} \lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x) - f(a)}{x-a} \tag{1.1} \end{align}$$

または

$$\begin{align} \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} \end{align}$$

として定義され，導関数などと呼ばれる．これを$f'(x)$などと表す． 前者はある変数$x$を定数$a$に近づけるという表現で，後者は$a$との距離をどんどん小さくするという表現となっており意味するところは同じである．

この極限が存在する時，関数$f(x)$は$x=a$で微分可能であるという．また，その値を

• $f'(a)$
• $\frac{df}{dx}(a)$
• $\frac{\partial f}{\partial x}(a)$

などと表す． $(a, f(a)$を通る傾き$f'(a)$の直線を関数$f(x)$の$x=a$における接線という．

関数$f(x)$が定義される空間の任意の$x$について微分可能である時，関数$f$は微分可能であるという．

微分は，変化の割合の2点間の距離を極限まで近づけたものと解釈できる．2点間の距離を限りなく近づけた時，それはある一点に収束するだろう．その時の変化の割合はその点でのみ接する直線，すなわち接線とみなせる．

$f(x)=x^2-4$について$x \in [-3,3]$を考え，0.2刻みに接線を描画したものが図1.1である．関数$f$が黒の太線で，細い線で色がついているものが各接線である．

Figure 1.1: 関数の曲線と接点

各線が関数$f$との曲線との接点を一つしか持たないことがわかるだろう．これは，どんな曲線もある一点に着目して極限までズームすれば微小区間を直線で近似できるという考えにもつながる．

Theorem 1.1 (微分と連続) 関数$f(x)$が$x=a$で微分可能であるとする．このとき$f$は$x=a$で連続である．

Proof. 仮定より微分可能であるため，(1.1)式より，$\lim_{h\rightarrow 0} f(a+h) - f(a) = 0$である． すなわち，$\lim_{h \rightarrow 0} f(a+h) = f(a)$となり，$x=a$で$f$は連続である．