1.4 微分に関する基本定理

微分における基本的な定理を紹介する．

Theorem 1.3 (微分の基本定理) \(f,g\)を微分可能な関数，\(c\)を定数とする．この時以下が成り立つ．

1. \((c)' = 0\)
2. \((cf(x))' = cf'(x)\)
3. \((f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)\)

定数\(c\)を関数と見なす場合，それは入力\(x\)に依らずに\(c\)を返すようなものを指す（つまり\(f(x) = c\)）． これは定数関数とも呼ばれる．定数関数は常に\(c\)という値を取ることから増減が無く，すなわち微分の結果は 全ての点において\(0\)となる．

後の二つについては，定数倍や分配法則について微分についても成り立つことを述べている．

Exercise 1.2 (基本定理) 次の関数を微分せよ

1. \(f(x) = 5\)
2. \(f(x) = 3x^2 + 5 e^x\)
3. \(f(x) = \sin x + \cos x\)