Temps d’attente

Solution 6.8 de l’exemple 3.2

Nous savons que le fonction de densité cumulative de \(\tau_k\) est une somme de \(k\) lois exponentielles indépendantes, représentant donc une distribution gamma de paramètre \(\lambda\) and \(k\). Et donc:

\[\begin{equation*} F_k(t) = \frac{1}{\Gamma(k)} \int_0^{t} \lambda^k u^{k-1} e^{-\lambda u} du, \end{equation*}\]

ce qui peut s’exprimer comme:

\[\begin{eqnarray*} F_k(t) &=& 1 - e^{-\lambda t} \left(1 + \lambda t + \frac{(\lambda t)^2}{2!} + ... + \frac{(\lambda t)^{k-1}}{(k-1)!}\right) \\ F_{k+1}(t) &=& 1 - e^{-\lambda t} \left(1 + \lambda t + \frac{(\lambda t)^2}{2!} + ... + \frac{(\lambda t)^{k-1}}{(k-1)!} + \frac{(\lambda t)^{k}}{(k)!}\right) \end{eqnarray*}\]

Ce qui nous permet de retrouver la distribution de comptage d’une loi de Poisson: \[\begin{eqnarray*} P(N(t) = k) = F_k(t) - F_{k+1}(t) = \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^k}{k!} \end{eqnarray*}\]

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