Somme composée

Solution 6.11 du théorème 3.1

La distribution de \(Z\) peut s’obtenir en utilisant les probabilités conditionnelles.

\[\Pr(Z_n = j) = \sum_{n=0}^{\infty} P(X_1 + ... + X_n = j |N=n) \Pr(N = n) \]

Pour un \(N\) donné, les règles de convolution s’appliquent, et donc:

\[ E[s^{Z_n}|N=n] = E[s^{X}]^n\]

Ainsi:

\[ \mathbb{P}^{(Z_n)}(s) = E[s^{Z_n}] = \sum_{n=0}^{\infty} E[s^{X}]^n \Pr(N = n) = \mathbb{P}^{(N)}[\mathbb{P}^{(X)}(s)]\]