logarithmique

Solution 6.12 du corollaire 3.2

On sait que:

\[\mathbb{P}^{(X)}(s) = -\alpha[\log(1-\theta s)] \text{, avec } \alpha = -[\log(1-\theta)]^{-1}.\]

Ainsi:

\[\begin{eqnarray*} \mathbb{P}^{(Z_n)}(s) &=& e^{-\lambda + \lambda \mathbb{P}^{(X)}(s)}\\ &=& e^{-\lambda - \lambda \alpha[\log(1-\theta s)] }\\ &=& e^{-\lambda} (1-\theta s)^{- \lambda \alpha} \\ &=& \exp(1/\alpha)^{- \lambda \alpha} (1-\theta s)^{- \lambda \alpha} \\ &=& \left[\frac{1 - \theta s}{1 - \theta}\right]^{- \lambda \alpha} \\ &=& \left[1 - \frac{\theta}{1 - \theta}(1-s)\right]^{- \lambda \alpha} \\ \end{eqnarray*}\]

ce qui correspond à la f.g.p. d’une binomiale négative.