Deviance GLM
Solution 6.5 de l’exemple ??
Nous savons que:
\[\begin{eqnarray*} D(y, \hat{\beta}) &=& 2 \sum_{i=1}^n \left( y_i \ln\left(\frac{y_i}{\widehat{\lambda}_i}\right) \right) = \sum_{i=1}^n D_i(y, \hat{\beta}) \end{eqnarray*}\]
| \(i\) | \(X_0\) | \(X_1\) | \(X_2\) | \(X_3\) | \(y\) | \(\widehat{\lambda}\) | \(D_i\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1.093 | -0.211 |
| 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0.686 | 0.000 |
| 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1.428 | 1.459 |
| 4 | 1 | 0 | 1 | 1 | 3 | 2.602 | 1.800 |
| 5 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0.686 | 1.386 |
| 6 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1.428 | 0.000 |
| 7 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1.993 | -1.151 |
| 8 | 1 | 1 | 0 | 1 | 2 | 1.094 | 2.3511 |
La déviance totale est égale à \(5.635192\).
Pour tester l’ajustement du modèle, il suffit ainsi de comparer cette valeur de la déviance (\(5.635192\)) à une chi-carré avec (\(8-4 = 4\)) degrés de liberté.
A un niveau 95%, un table de chi-carré à 4 degrés de liberté nous donne \(9.488\). On ne peut donc pas rejeter le modèle Poisson à ce niveau.
Autre remarque: on peut aussi voir que \(\sum_{i=1}^8 \widehat{\lambda}_i = \sum_{i=1}^8 y_i = 8\), ce qu’on nommait un équilibre financier.