Limite binomiale

Solution 6.7 de la proposition 3.6

Nous avons:

Supposons que \(X\) est une binomiale\((n,p)\). La fonction génératrice des probabilités s’exprime comme:

\[\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(s) &=& (q + ps)^n \end{eqnarray*}\]

Ainsi:

\[\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty} \mathbb{P}(s) &=& \lim_{n\rightarrow \infty} (q + ps)^n\\ &=& \lim_{n\rightarrow \infty} \left(1- \frac{\lambda}{n} + \frac{\lambda}{n} s\right)^n\\ &=& \lim_{n\rightarrow \infty} \left(1 + \frac{\lambda(s-1)}{n}\right)^n\\ &=& e^{\lambda(s-1)} \end{eqnarray*}\]

ce qui correspond à la fonction génératrice de probabilités d’une Poisson.