4.15 分散・標準偏差

Definition 4.2 (分散・不偏分散・標準偏差) 観測されたデータを\(x_{1},\ldots,x_{n}\)とする．このときデータの分散は以下のように定義される．

\[\begin{align} s^2 = \frac1n \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x) \end{align}\]

また，\(n\)ではなく\(n-1\)で割る場合を不偏分散という．

\[\begin{align} s'^2 = \frac1{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x) \end{align}\]

さらに，分散または不偏分散の正の平方根を標準偏差という．

s =

分散は，平均と比べて幾分想像しにくい統計量である．平均との差の二乗を足し上げて，\(n\)または\(n-1\)で割った数であるが， これは平均からのばらつきがどれ程大きいかを示している． 分散は二乗の操作をしているので必ず0以上である．すなわち，0に近ければ近いほどそのデータは平均周りに密集していることがわかる．

さらに標準偏差は分散に対して正の平方根をとっているが，これは二乗した際にデータのスケールが変わっていることを考慮し， 元のスケールに戻す操作を加えたものである．

4.15.1 Rでの計算

Rではvarで不偏分散，sdで標準偏差を計算することができる． 先ほどの平均・最大値・最小値に加えて，不偏分散，標準偏差を加えてみよう．

iris %>% 
  as_tibble() %>% 
  group_by(Species) %>% 
  summarise(across(c(Sepal.Length, Sepal.Width), list(mean=mean, min=min, max=max, var=var, sd=sd)))

## # A tibble: 3 × 11
##   Species    Sepal.Length_mean Sepal.Length_min Sepal.Length_max Sepal.Length_var
##   <fct>                  <dbl>            <dbl>            <dbl>            <dbl>
## 1 setosa                  5.01              4.3              5.8            0.124
## 2 versicolor              5.94              4.9              7              0.266
## 3 virginica               6.59              4.9              7.9            0.404
## # ℹ 6 more variables: Sepal.Length_sd <dbl>, Sepal.Width_mean <dbl>,
## #   Sepal.Width_min <dbl>, Sepal.Width_max <dbl>, Sepal.Width_var <dbl>,
## #   Sepal.Width_sd <dbl>