2.6 正定値・半正定値行列の固有値の性質　

与えられたデータの行列X∈Rn×mに対して，A=X⊤XまたはA=XX⊤は対称行列となり，これらは半正定値または 正定値行列になることが知られている．

そして，半正定値・正定値行列について以下の性質が成り立つ．

Theorem 2.5 (正定値・半正定値行列の固有値の性質) A∈Rn,A=A⊤として，その固有値をλ1,…,λnとする． このとき，以下が成り立つ．

  1. λi>0,i=1,…,n⇔Aのは正定値である．
  2. λi≥0,i=1,…,n⇔Aのは半正定値である．
  3. X∈Rn×mとすると，X⊤XとXX⊤の固有値のうち正の値であるものの個数は一致し，それはrankAに等しい．
  4. 固有値の最大値λmaxは任意の\|\boldsymbol x \| = 1となる\boldsymbol x \in \mathbb R^{n}によるAの二次形式\boldsymbol x^{\top}A \boldsymbol xの最大値に等しい． また，Aの固有値の最小値\lambda_{min}は\boldsymbol x^{\top}A \boldsymbol xの最小値に等しい．

Exercise 2.4 (正定値・半正定値行列の固有値の性質) 次の行列が正定値行列・半正定値行列・それ以外かどうかを判定せよ．

\begin{align} A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{align}