1.1 行列式の定義と性質

行列式は正方行列に対して定義される．いかに簡単に行列式の定義を示す（厳密な定義については割愛する）．

Definition 1.1 (行列式) \(A = (\boldsymbol a_{1},\ldots,\boldsymbol a_{n}) \in \mathbb R^{n\times n}\)について，次の性質を満たす写像\(\det:\mathbb R^{n\times n} \longrightarrow \mathbb R\)を行列式という． 行列式を記号で\(\det A, \det(A), |A|\)などと表す．

  1. \(A'\)を\(A\)の\(i\)番目の列ベクトルに\(\boldsymbol b \in \mathbb R^{n}\)に足したもの，\(A^\ast\)を\(A\)の\(i\)番目の列ベクトルを\(\boldsymbol b\)で置き換えたものとする．この時，\(\det A' = \det A + \det A^\ast\)が成り立つ．
  2. \(A'\)を\(A\)の\(i\)番目の列ベクトルを\(c\)倍したものとする．この時，\(\det A' = c \det A\)が成り立つ．
  3. \(A'\)を\(A\)の\(i\)番目の列ベクトルを\(j\)番目の列ベクトルで置き換えたものとする．この時，\(\det A' = 0\)が成り立つ．
  4. \(A'\)を\(A\)の\(i\)番目の列ベクトルと\(j\)番目の列ベクトルを交換したものとする．この時，\(\det A' = - \det A\)が成り立つ．
  5. \(\det I_n = 1\)が成り立つ．

1.1.1 \(n=2,3\)の場合の計算方法

\(2\)次と\(3\)次正方行列の場合の行列式の具体的な計算方法について紹介する．

1.1.1.1 \(n=2\)

\(A\)を\(2\)次正方行列とする．

\[\begin{align} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \end{align}\]

この時\(A\)の行列式\(\det A\)は

\[ \det A = a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12} \]

として求められる．

1.1.1.2 \(n=3\)

\(A\)を\(3\)次正方行列とする．

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix} \]

この時\(A\)の行列式\(\det A\)は

\[ \begin{align} \det A &= a_{11} a_{22} a_{33} + a_{21} a_{32} a_{13} + a_{31} a_{12} a_{23} \\ &- a_{13} a_{22} a_{31} - a_{23} a_{32} a_{11} - a_{33} a_{12} a_{21} \end{align} \]

として求められる．この計算式は次の図のように，同じ行列を縦に並べてイメージするとわかりやすい．

図2-1:3次正方行列の行列式の求め方
図2-1:3次正方行列の行列式の求め方

1.1.2 性質

行列式については以下の性質がよく知られている．

Theorem 1.1 (行列式の性質) 行列式は以下の性質を満たす．

  1. \(A \in \mathbb R^{n\times n}, c \in \mathbb R\)について，\(\det(cA) = c^n \det A\)
  2. \(A\)が対角行列のとき，\(\det A = \prod_{i=1}^n a_{ii}\)
  3. \(A\)を\(n\)次の上三角行列（あるいは下三角行列）とする．このとき，\(\det A = \prod_{i=1}^{n} a_{ii}\)．
  4. \(A,B \in \mathbb R^{n\times n}\)ならば\(\det (AB) = \det A \det B\)
  5. \(A \in \mathbb R^{n\times n}\)で正則のとき\(\det A^{-1} = \frac{1}{\det A}\)
  6. \(A \in \mathbb R^{n\times n}\)で正則行列\(\Leftrightarrow \det A \neq 0\)
  7. \(A \in \mathbb R^{n\times n}\)に対して\(\det A^{\top} = \det A\)
  8. \(P \in \mathbb R^{n\times n}\)が直交行列のとき，\(\det P = \pm 1\)．特に\(\det P = 1\)であれば回転行列である．
  9. \(A \in \mathbb R^{n\times n}\)が対称行列のとき，\(A\)が正定値行列であれば\(\det A \leq a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}\)

6番目の性質である「\(A \in \mathbb R^{n\times n}\) で正則行列 \(\Leftrightarrow \det \neq 0\) 」は逆行列の存在確認方法としても有用である．

Exercise 1.1 (行列式の計算) 次の行列式を求めよ

\[\begin{align} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \end{align}\]