2.2 固有値・固有ベクトルの計算

固有値・固有ベクトルを求める際は，まず固有値を求め，次にそれぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求める，という手順を踏む．

固有値は次の固有方程式から求めることができる．

Theorem 2.1 (行列の固有方程式) \(A \in \mathbb R^{n\times n}\)とする．このとき，

\[ \det (A - \lambda I_n) = 0 \]

を固有方程式といい，固有方程式の解\(\lambda\)は\(A\)の固有値となる．

簡単に，\(A \in \mathbb R^{2\times 2}\)の場合を見てみよう．このとき

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}, \lambda I_2 = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \]

である．固有方程式を考えると

\[ \det \begin{pmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda \end{pmatrix} \]

となる．つまり，元の行列\(A\)の対角成分から\(\lambda\)を引いた行列について行列式を考え，それが0となるような変数\(\lambda\)を求めるという問題に帰着する．

2.2.1 固有方程式と固有値の関係

固有方程式は，固有値・固有ベクトルの定義から自然に導かれる方程式である． まず，定義より\(A \boldsymbol x = \lambda \boldsymbol x\)であるので，これを移項すると\((A - \lambda I_n)\boldsymbol x = \boldsymbol 0\)となる． もし行列\(A - \lambda I_n\)が正則であれば逆行列が存在して\(\boldsymbol x = \boldsymbol 0\)となるが，これは固有ベクトルは\(\boldsymbol 0\)ではない という仮定と矛盾する． すなわち，\(A - \lambda I_n\)は逆行列を持たず，\(\det (A - \lambda I_n) = 0\)であることが導かれる．またその逆も成り立つ． これは固有方程式そのものである．

Exercise 2.1 (固有値・固有ベクトルの計算) 次の行列の固有値を，固有方程式の解を求める手順で計算せよ．

\[\begin{align} A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{align}\]

すでに紹介した通り，この行列の固有値は\(4, 1\)でそれぞれ固有ベクトルは\((1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})^\top, (2/\sqrt{5}, -1/\sqrt{5})^\top\)である．