2.3 固有値・固有ベクトルの性質

固有値・固有ベクトルに関する主な性質を紹介する.

Theorem 2.2 (固有値・固有ベクトルの性質) ARn×nとその固有値λ1,,λnについて,次の性質が成り立つ.

  1. 固有方程式detの解は複素数・重解を考慮するとn個存在する.
  2. Aの固有値\lambda_1, \cdots, \lambda_nに対して以下が成り立つ

\begin{align} \lambda_{1}+\cdots+\lambda_{n} &= \text{tr}A \\ \lambda_{1}\times\cdots\times\lambda_{n} &= \det A \end{align}

  1. \det A=0 \Leftrightarrow Aが固有値として0を持つ.
  2. Aが正則\Leftrightarrow Aの固有値は全て0ではない.
  3. Aが正則とする.この時Aの固有値\lambda_1, \cdots, \lambda_nとして,A^{-1}の固有値は1/\lambda_1,\cdots,1/\lambda_nである.
  4. A^{\top}の固有値はAと同じとなる
  5. 上三角行列・下三角行列Aについて,Aの固有値は対角成分と一致する.
  6. 直交行列Pに対し,Pの固有値は全て\pm 1である.
  7. 射影行列Aに対し,Aの固有値は0または1である.
  8. 対角行列Aに対し,Aの固有値はAの対角成分である.

Exercise 2.2 (固有値・固有ベクトルの性質) 上記の性質のうち,5番目を確かめよう.ある行列A \in \mathbb R^{n\times n}が正則であれば,A^{-1}の固有値はAの固有値の逆数であるというものである. いま

\begin{align} A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{align}

とする.この行列の固有値・固有ベクトルはすでに求まっているので,ここではA^{-1}を求めて さらにその固有値・固有ベクトルを求めよう.