1.7 条件付き確率
全体集合Sに対する部分事象A,Bを考える.この時,Bを与えたときのAの確率を条件付き確率という. 例えば,B={晴れ,雨}としてA={傘を持っていく,傘を持って行かない}としよう.直感的には,単純に傘を持っていくかどうかの確率と,天気がわかっている元での傘を持っていくかどうかの確率は異なると思える(雨とわかっているなら傘は持っていくし,晴れなら持って行かない確率の方が断然高いだろう).
これを数式を用いて次のように定義する.
Definition 1.3 (条件付き確率) Sの任意の部分事象A,Bを考える.ここではP(B)>0とする.事象Bを与えた時の事象Aの条件付き確率を
P(A|B)=P(A∩B)P(B)
と定義する.
Exercise 1.5 (互いに疎な場合の条件付き確率) Sの任意の部分事象A,Bを考える.P(B)>0でA∩B=ϕのとき,P(A|B)の値を求めよ.
最後に,積事象A∩Bの確率を考えよう.
Theorem 1.3 (乗法公式) 積事象A∩Bの確率は次のように求められる.
P(A∩B)=P(B)P(A|B)
さらに,もしP(A∩B)=P(A)P(B)となるならば,A,Bは独立であるという.
A,Bが独立の時,P(A|B)=P(A)ということなので,Aで条件づけられたとしても,それは Bの確率に何ら関係ないことを意味している. その意味で,A,Bは独立ということなのである.この場合,同様にP(B|A)=P(B)も成り立つ.
Exercise 1.6 (条件付き確率) 2つのサイコロX,Yを投げることを考える.
- 1つ目のサイコロの目が3の時,2つのサイコロの目の積が12となる確率P(XY=12|X=3)を求めよ.また併せて,2つのサイコロの目の積が12となる確率P(XY=12)も求めよ.
- 1つ目のサイコロの目が偶数の時,2つのサイコロの目の和が8になる確率P(X+Y=8|X∈{2,4,6})を求めよ.