1.4 和事象・積事象の確率

全体集合\(S\)，二つの事象\(A,B \subset S\)について，\(A \cup B, A \cap B\)の確率を考える． これについて以下が成り立つ．

Theorem 1.1 (和事象の確率) \[\begin{align} P(A \cup B) &= \sum_{e_i \in A \cup B} P(e_i) \\ &= \sum_{e_i \in A} P(e_i) + \sum_{e_i \in B} P(e_i) - \sum_{e_i \in A \cap B} P(e_i) \end{align}\]

明らかに，\(A \cap B = \phi\)のとき，\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)が成り立つ． さらに一般化して，\(A_i \in S, i=1,\ldots,k\)かつ\(A_i \cap A_j = \phi, i \neq j\)として

\[\begin{align} P\left( \bigcup_{i=1}^{k} A_i \right) = \sum_{i=1}^{k} A_i \end{align}\]

が成り立つ．