1.4 和事象・積事象の確率

全体集合$S$，二つの事象$A,B \subset S$について，$A \cup B, A \cap B$の確率を考える． これについて以下が成り立つ．

Theorem 1.1 (和事象の確率) $$\begin{align} P(A \cup B) &= \sum_{e_i \in A \cup B} P(e_i) \\ &= \sum_{e_i \in A} P(e_i) + \sum_{e_i \in B} P(e_i) - \sum_{e_i \in A \cap B} P(e_i) \end{align}$$

明らかに，$A \cap B = \phi$のとき，$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$が成り立つ． さらに一般化して，$A_i \in S, i=1,\ldots,k$かつ$A_i \cap A_j = \phi, i \neq j$として

$$\begin{align} P\left( \bigcup_{i=1}^{k} A_i \right) = \sum_{i=1}^{k} A_i \end{align}$$

が成り立つ．